2.2 Движение тел под действием силы тяжести

Действием сил всемирного тяготения в природе объясняются многие явления: движение планет в Солнечной системе, искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли - все они находят объяснение на основе закона всемирного тяготения и законов динамики.

Закон всемирного тяготения объясняет механическое устройство Солнечной системы, и законы Кеплера, описывающие траектории движения планет, могут быть выведены из него. Для Кеплера его законы носили чисто описательный характер -- ученый просто обобщил свои наблюдения в математической форме, не подведя под формулы никаких теоретических оснований. В великой же системе мироустройства по Ньютону законы Кеплера становятся прямым следствием универсальных законов механики и закона всемирного тяготения. То есть мы опять наблюдаем, как эмпирические заключения, полученные на одном уровне, превращаются в строго обоснованные логические выводы при переходе на следующую ступень углубления наших знаний о мире.

Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести - так принято называть силу притяжения тел к Земле вблизи ее поверхности.

Если M - масса Земли, RЗ - ее радиус, m - масса данного тела, то сила тяжести равна

где g - ускорение свободного падения;

у поверхности Земли

Сила тяжести направлена к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно падает на Землю с ускорением свободного падения.

Среднее значение ускорения свободного падения для различных точек поверхности Земли равно 9,81 м/с2. Зная ускорение свободного падения и радиус Земли (RЗ = 6,38·106 м), можно вычислить массу Земли

Картину устройства солнечной системы, вытекающую из этих уравнений и объединяющую земную и небесную гравитацию, можно понять на простом примере. Предположим, мы стоим у края отвесной скалы, рядом пушка и горка пушечных ядер. Если просто сбросить ядро с края обрыва по вертикали, оно начнет падать вниз отвесно и равноускоренно. Его движение будет описываться законами Ньютона для равноускоренного движения тела с ускорением g. Если теперь выпустить ядро из пушки в направлении горизонта, оно полетит -- и будет падать по дуге. И в этом случае его движение будет описываться законами Ньютона, только теперь они применяются к телу, движущемуся под воздействием силы тяжести и обладающему некой начальной скоростью в горизонтальной плоскости. Теперь, раз за разом заряжая в пушку всё более тяжелое ядро и стреляя, вы обнаружите, что, поскольку каждое следующее ядро вылетает из ствола с большей начальной скоростью, ядра падают всё дальше и дальше от подножия скалы.

Теперь представим, что мы забили в пушку столько пороха, что скорости ядра хватает, чтобы облететь вокруг земного шара. Если пренебречь сопротивлением воздуха, ядро, облетев вокруг Земли, вернется в исходную точку точно с той же скоростью, с какой оно изначально вылетело из пушки. Что будет дальше, понятно: ядро на этом не остановится и будет и продолжать наматывать круг за кругом вокруг планеты.

Иными словами, мы получим искусственный спутник, обращающийся вокруг Земли по орбите, подобно естественному спутнику -- Луне.

Так поэтапно мы перешли от описания движения тела, падающего исключительно под воздействием «земной» гравитации (ньютоновского яблока), к описанию движения спутника (Луны) по орбите, не изменяя при этом природы гравитационного воздействия с «земной» на «небесную». Вот это-то прозрение и позволило Ньютону связать воедино считавшиеся до него различными по своей природе две силы гравитационного притяжения.

При удалении от поверхности Земли сила земного тяготения и ускорение свободного падения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния r до центра Земли. Примером системы двух взаимодействующих тел может служить система Земля-Луна. Луна находится от Земли на расстоянии rЛ = 3,84·106 м. Это расстояние приблизительно в 60 раз превышает радиус Земли RЗ. Следовательно, ускорение свободного падения aЛ, обусловленное земным притяжением, на орбите Луны составляет

С таким ускорением, направленным к центру Земли, Луна движется по орбите. Следовательно, это ускорение является центростремительным ускорением. Его можно рассчитать по кинематической формуле для центростремительного ускорения

где T = 27,3 сут - период обращения Луны вокруг Земли.

Совпадение результатов расчетов, выполненных разными способами, подтверждает предположение Ньютона о единой природе силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести.

Собственное гравитационное поле Луны определяет ускорение свободного падения gЛ на ее поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а ее радиус приблизительно в 3,7 раза меньше радиуса Земли.

Поэтому ускорение gЛ определится выражением

В условиях такой слабой гравитации оказались космонавты, высадившиеся на Луне. Человек в таких условиях может совершать гигантские прыжки. Например, если человек в земных условиях подпрыгивает на высоту 1 м, то на Луне он мог бы подпрыгнуть на высоту более 6 м.

Рассмотрим вопрос об искусственных спутниках Земли. Искусственные спутники Земли движутся за пределами земной атмосферы, и на них действуют только силы тяготения со стороны Земли.

В зависимости от начальной скорости траектория космического тела может быть различной. Рассмотрим случай движения искусственного спутника по круговой околоземной орбите. Такие спутники летают на высотах порядка 200-300 км, и можно приближенно принять расстояние до центра Земли равным ее радиусу RЗ. Тогда центростремительное ускорение спутника, сообщаемое ему силами тяготения, приблизительно равно ускорению свободного падения g. Обозначим скорость спутника на околоземной орбите через х1 - такая скорость называют первой космической скоростью. Используя кинематическую формулу для центростремительного ускорения, получим

Двигаясь с такой скоростью, спутник облетал бы Землю за время

На самом деле период обращения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли несколько превышает указанное значение из-за отличия между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли. Движение спутника можно рассматривать как свободное падение, подобное движению снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории равен радиусу Земли.

Для спутников, движущихся по круговым траекториям на значительном удалении от Земли, земное притяжение ослабевает обратно пропорционально квадрату радиуса r траектории. Таким образом, на высоких орбитах скорость движения спутников меньше, чем на околоземной орбите.

Период обращения спутника растет с увеличением радиуса орбиты. Нетрудно подсчитать, что при радиусе r орбиты, равном приблизительно 6,6 RЗ, период обращения спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом обращения, запущенный в плоскости экватора, будет неподвижно висеть над некоторой точкой земной поверхности. Такие спутники используются в системах космической радиосвязи. Орбита с радиусом r = 6,6 RЗ называется геостационарной.

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

Рисунок 5 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна х1 = 7.9·103 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих х1, но меньших х2 = 11,2·103 м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости х2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости - по гиперболе.

Рисунок 5 - Космические скорости

Указаны скорости вблизи поверхности Земли: 1) х = х1 - круговая траектория;

2) х1 < х < х2 - эллиптическая траектория; 3) х = 11,1·103 м/с - сильно вытянутый эллипс;

4) х = х2 - параболическая траектория; 5) х > х2 - гиперболическая траектория;

6) траектория Луны

Таким образом, мы выяснили, что все движения в Солнечной системе подчиняются закону всемирного тяготения Ньютона.

Исходя из малой массы планет и тем более прочих тел Солнечной системы, можно приближенно считать, что движения в околосолнечном пространстве подчиняются законам Кеплера.

Все тела движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Чем ближе к Солнцу небесное тело, тем быстрее его скорость движения по орбите (планета Плутон, самая далекая из известных, движется в 6 раз медленнее Земли).

Тела могут двигаться и по разомкнутым орбитам: параболе или гиперболе. Это случается в том случае, если скорость тела равна или превышает значение второй космической скорости для Солнца на данном удалении от центрального светила. Если речь идет о спутнике планеты, то и космическую скорость надо рассчитывать относительно массы планеты и расстояния до ее центра.

3 Искусственные спутники Земли

12 февраля 1961 года вышла за пределы земного притяжения автоматическая межпланетная станция «Венера-1»

М - масса Земли

m - масса спутника

R - радиус Земли

h - высота спутника над поверхностью Земли

Вывод: Скорость спутника зависит от его высоты над поверхностью Земли. Скорость не зависит от массы спутника

Если на тело действует только сила тяжести, то тело совершает свободное падение. Вид траектории движения зависит от направления и модуля начальной скорости. При этом возможны следующие случаи движения тела: 1...

Движение тела под действием силы тяжести

Если начальная скорость тела равна нулю или параллельна силе тяжести, тело совершает прямолинейное свободное падение. Основной задачей механики, является определение положения тела в любой момент времени. Решением задачи для частиц...

Движение тела под действием силы тяжести

Тело брошено горизонтально, т.е. под прямым углом к направлению силы тяжести. При этом v0x = v0 , gx = 0, v0y = 0, gy = - g , х0 = 0, и, следовательно, Чтобы определить вид траектории, по которой тело будет двигаться в этом случае...

Движение тела под действием силы тяжести

Основной задачей баллистики является определение, под каким углом к горизонту, и с какой начальной скоростью должна лететь пуля определенной массы и формы, чтобы она достигла цели. Образование траектории. Во время выстрела пуля...

Колебания в электрических цепях

Рассмотрим уравнение (18), в котором положим Х=Х0 cos щt: (27) Уравнение (27) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением со специальной правой частью. Как известно из теории дифференциальных уравнений...

Рассмотрим следующую задачу. Положительный заряд q сосредоточен на материальной точке массой m...

Колебания комбинированного осциллятора

Найдем круговую частоту малых колебаний тонкого однородного стержня массы и длины вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О. Жесткость пружины, ее масса пренебрежимо мала. В положении равновесия стержень вертикален...

Колебания комбинированного осциллятора

Найдем частоту малых колебаний системы, показанной на рис. 4 Известны радиус блока, его момент инерции относительно оси вращения, масса тела и жесткость пружины. Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит...

Колебания комбинированного осциллятора

Рассмотрим однородный цилиндрический блок массы и радиуса может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси О (рис. 5). На блок плотно намотана нить, к свешивающемуся концу которой прикреплен груз А...

Материя, движение, пространство, время

Одно из проявлений силы всемирного тяготения - сила притяжения тела к Земле, называемая также силой тяжести. Она направлена к центру Земли. Ее находят по формуле: где М3-масса Земли, mт-масса тела, R-радиус Земли. Ускорение...

Основы прикладной механики

Условия: Определить координаты центра тяжести (центра масс) шасси блока РЭА. Шасси изготовлено из листового материала и представляет собой сложную фигуру. a=280 мм; b=140 мм; c=65мм...

Оценка динамической устойчивости ЭЭС

В первом случае в 1-ю с происходит КЗ на ВЛ ТЭС-1 - ПС-200, через 0,04 с основной комплект РЗ подает сигнал на отключение поврежденной цепи, спустя 0,1 с срабатывает выключатель на ПС-200 и отключает ВЛ с одной стороны...

Простейшие дифференциальные уравнения

Простейшее дифференциальное уравнение, с которым мы сталкиваемся в курсе физики, связано с исследованием равноускоренного движения материальной точки под действием постоянной во времени силы. Очевидно...

Расчёт тонкостенной конструкции с однозамкнутым контуром поперечного сечения

Определим редукционные коэффициенты: где - момент приведенного сечения относительно Х0, - площадь приведенного сечения. Разобьем сечение на участки как показано на рис. 1 Рисунок 1 - Схема конструкции Определим главную центральную ось: ,...

Силовой анализ рычажного механизма

Силы тяжести: Силы инерции: Точки приложения сил инерции в шатунах - центры масс, для плеча О2В коромысла 3 О2С Центральные моменты инерции шатунов: Главные моменты сил инерции шатунов: 2.2 Расчет диады II (4?5) Выделяем из механизма диаду 4,5...

Цели:

• Продолжение знакомства с разнообразием равноускоренных движений.
• Обучение сравнению разных видов движений, нахождению общих черт и отличий, умению делать выводы из наблюдаемых явлений.
• Познакомить с методикой решения задач по данной теме, показать универсальность законов применяемых при решении задач.
• Расширение кругозора.

Этапы уроков:

• Этап определения цели урока
• Этап актуализации знаний
• Этап получения новых знаний по теме “Движение тел под действием силы тяжести”
• Этап подготовки к решению задач
• Этап закрепления материала в процессе решения кроссворда, задач, теста
• Задание на дом

Сопровождение уроков:

• Презентация “Движение тел под действием силы тяжести”.
• Кинофрагменты.
• Опыты.

Оборудование уроков:

• Компьютерный класс
• Видеопроектор
• Электронный дидактический материал для учащихся
• Приборы: трубка Ньютона, диски металлический и бумажный

ХОД УРОКА

I. С сегодняшнего дня мы будем рассматривать характер и законы движения тел, на которые действует только сила тяжести. Видов движений под действием силы тяжести может быть несколько: движение тел брошенных вертикально вверх, вертикально вниз, горизонтально, под углом к горизонту. Значение знаний этих законов трудно недооценить. Они объясняют движение парашютистов, снарядов, спортсменов на трамплинах и т.д.

Свободное движение тел обладает следующей особенностью: тело, брошенное горизонтально и просто отпущенное с того же уровня падают одновременно. Проследим движение таких тел на модели.

На последних слайдах презентации № 18,19, 20, 21 представлены кинофрагменты (см. Приложение 6 ):

• Основная задача механики и движение тел брошенных под углом к горизонту,
• Падение снарядов, брошенных с самолета,
• Полет баллистических ракет,
• Полет космических ракет.

Кинофрагменты можно использовать перед началом изучения темы для создания элемента заинтересованности, в середине – для обоснования рассмотрения данных видов движений или в конце – при подведении итогов.

Выберем инерциальную систему отсчета. Свяжем ее с Землей.

Изобразим на чертеже направление ускорения каждого тела.

Т. к. мы не знаем точно, по часовой стрелке или против нее, будет двигаться система, направление движения выберем произвольно.

Судя по всему, ускорения тел и одинаковы, поскольку эти тела можно рассматривать как одно тело, движущееся с ускорением Но, так как нам надо найти силу давления перегрузка на груз, будем рассматривать их раздельно.

Изобразим силы, действующие на каждое тело , исходя из того, что силы – результат действия одних тел на другие. Все силы будем прикладывать к центру масс тел.

На первое тело со стороны Земли действует сила тяжести

Со стороны нити на это тело действует сила упругости

Так как первое тело движется с ускорением вертикально вверх, то по величие сила упругости больше, чем сила тяжести.

На второе тело со стороны Земли действует сила тяжести В этом же направлении на второе тело действует сила давления со стороны перегрузка .

В противоположную сторону на второе тело со стороны нити действует сила

Так как вектор ускорения, с которым движется второе тело, направлен вниз, на чертеже эти силы изобразим так, чтобы их векторная сумма также была направлена вниз.

Для выполнения чертежа предположим, что нить по всей длине натянута одинаково и силы и равны друг другу.

На перегрузок действует сила тяжести , направленная вертикально вниз, и сила реакции со стороны опоры

Сила давления, с которой перегрузок действует на опору, по третьему закону Ньютона равна силе, с которой опора действует на перегрузок.

Так как ускорение, с которым движется перегрузок, направлено вертикально вниз, сила тяжести, действующая на него, больше силы реакции опоры.

После того, как на чертеже изображены силы, действующие на каждое из движущихся тел, выберем направления для проецирования сил и ускорений. Удобно направления для проецирования сил и ускорений выбирать так, чтобы они совпадали с направлениями ускорений движения соответствующих тел.

Выберем для каждого тела свое направление (хотя можно было бы ограничиться одним направлением).

Для проецирования сил, действующих на первое тело, и ускорения его движения, выберем направление вверх. Для проецирования сил, действующих на второе тело и перегрузок, и ускорения их движения, выберем направление вниз.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для каждого из рассматриваемых тел: сумма сил действующих на тело, равна произведению массы этого тела на ускорение, с которым тело движется.

Запишем уравнения в скалярной форме, в проекциях на выбранные направления.

Y :

Y" :

Y" :

Процедура проецирования векторов сил и ускорений на выбранные направления позволила получить систему уравнений, в которую входят не векторные, а скалярные величины:

В этой системе, если сопоставить число неизвестных с числом уравнений, оказывается, что неизвестных больше, чем самих уравнений. Это означает, что необходимо записать дополнительные уравнения, включающие в себя уже имеющиеся неизвестные величины.

При написании этих уравнений будем исходить из следующих обстоятельств.

Во-первых, по третьему закону Ньютона, модуль силы давления перегрузка на второе тело и силы реакции опоры, действующей со стороны второго тела на перегрузок, равны друг другу:

Во-вторых, по условию задачи, нить нерастяжима. Ускорение при равноускоренном движении, если начальная скорость равна нулю, связано с перемещением и временем движения следующим образом: Это означает, что за равные промежутки времени тела будут совершать равные перемещения.

Таким образом, ускорения тел численно равны друг другу:

a 1 = a 2 = a .

Для этого рассмотрим упрощенный чертеж. Исключим из рассмотрения перегрузок и ограничимся фрагментом, на котором отсутствует блок.

На первое тело со стороны нити действует сила но, по третьему закону Ньютона, со стороны тела на нить также действует сила, равная по величине и противоположная по направлению. Обозначим ее

Эта сила приложена к нити со стороны тела. Именно эта сила нас и интересует.

Таким образом: .

Точно также, на второе тело со стороны нити действует сил а на нить со стороны тела действует сила По третьему закону Ньютона

Оказывается, что на нить с двух сторон действуют силы и

Нить так же, как и тела, движется с ускорением под действием этих сил. Запишем уравнение движения нити в скалярном виде:

Где M – масса нити.

Если масса нити равна нулю M = 0 , то В противном случае это равенство несправедливо.

Так как то можно сделать вывод о том, что .

Такое доказательство, строго говоря, необходимо при решении любой задачи на движение связанных тел, но поскольку оно всегда производится одинаковым образом, в дальнейшем его повторять не будем. При желании всегда можно обратиться к данной задаче и повторить доказательство для любого аналогичного случая.

С учетом всего вышеизложенного, перепишем систему уравнений:

Решать эту систему можно разными способами, например, наиболее распространенным и универсальным способом подстановки. Но в данном случае гораздо удобнее сложить правые и левые части уравнений.

В результате проведения этой операции получаем: (m 2 + m 3 – m 1) g = (m 1 + m 2 + m 3)a .

Отсюда искомое ускорение:

Как видно, в данном уравнении коэффициент, стоящий перед ускорением свободного падения, меньше единицы, следовательно, ускорение, с которым движется тело, меньше ускорения свободного падения.

Если сумма масс второго и третьего тела равна массе первого тела, грузы, висящие справа и слева, уравновешивают друг друга. Ускорение их движения равно нулю. Система либо покоится, либо, если ей сообщили какую-то скорость, движется с этой скоростью, сохраняя ее постоянной.

Зная ускорение движения системы, можно найти ответы на другие интересующие нас вопросы. В частности, можно, например, из первого уравнения выразить силу натяжения нити: T = m 1 a + m 1 g .

Найдя численное значение ускорения, его можно будет подставить в данное уравнение и определить численное значение силы натяжения T .

Аналогичным образом можно выразить из второго или из третьего уравнения (лучше из третьего, как более простого) значение силы давления F д: F д = m 3 g – m 3 a .

Зная величину ускорения, можно найти величину силы давления перегрузка на груз. Эта сила является весом перегрузка.

Как видно, в случае, если система движется с ускорением, вес перегрузка меньше силы тяжести, действующей на него.

Рассмотрим вопрос о движении тел под действием силы тяжести. Если модуль перемещения тела много меньше расстояния до центра Земли, то можно считать силу всемирного тяготения во время движения постоянной, а движение тела равноускоренным. Самый простой случай движения тел под действием силы тяжести - свободное падение с начальной скоростью, равной нулю. В этом случае тело движется прямолинейно с ускорением свободного падения по направлению к центру Земли. Если начальная скорость тела отлична от нуля и вектор начальной скорости направлен не по вертикали, то тело под действием силы тяжести движется с ускорением свободного падения по криволинейной траектории. Форму такой траектории наглядно иллюстрирует струя воды, вытекающая под некоторым углом к горизонту (рис. 31).

При бросании тела с некоторой высоты параллельно земной поверхности дальность полета будет тем большей, чем больше начальная скорость.

При больших значениях начальной скорости необходимо учитывать шарообразность Земли и изменение направления вектора силы тяжести в разных точках траектории.

Первая космическая скорость.

При некотором значении начальной скорости тело, брошенное по касательной к поверхности Земли, под действием силы тяжести при отсутствии атмосферы может двигаться вокруг Земли по окружности, не падая на Землю и не удаляясь от нее.

Скорость, с которой происходит движение тела по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, называется первой космической скоростью.

Определим первую космическую скорость для Земли (см. передний форзац). Если тело под действием силы тяжести движется вокруг Земли равномерно по окружности радиусом то ускорение свободного падения является его центростремительным ускорением:

Отсюда первая космическая скорость равна

Подставив в выражение (11.2) значение радиуса Земли и ускорения свободного падения у ее поверхности, получим, что первая космическая скорость для Земли Эта скорость примерно в 8 раз больше скорости пули.

Первая космическая скорость для любого небесного тела также определяется выражением (11.2). Ускорение свободного падения на расстоянии от центра небесного тела можио найти, воспользовавшись вторым законом Ньютона и законом всемирного тяготения:

Из выражений (11.2) и (11.3) получаем, что первая космическая скорость на расстоянии от центра небесного тела массой М равна

Для запуска на околоземную орбиту искусственный спутник Земли или космический корабль необходимо сначала вывести за пределы атмосферы. Поэтому космические корабли стартуют вертикально. На высоте 200-300 км от поверхности Земли атмосфера очень разрежена и почти не влияет на движение космических кораблей. На такой высоте ракета делает поворот и сообщает аппарату, запускаемому на орбиту искусственного спутника, первую космическую скорость в направлении, перпендикулярном вертикали (рис. 32).

Если космическому аппарату сообщается скорость меньше первой космической, то он движется по траектории, которая пересекается с поверхностью земного шара, т. е. аппарат падает на Землю. При начальной скорости больше но меньше космический аппарат движется вокруг Земли по криволинейной траектории - эллипсу. Чем больше начальная скорость, тем все более вытянут эллипс.

При достижении некоторого значения скорости, называемого второй космической скоростью, эллипс превращается в параболу и космический корабль уходит от Земли безвозвратно. У поверхности Земли вторая космическая скорость равна При скорости более второй космической тело движется по гиперболической траектории (рис. 33).