Если 2 параллельные прямые пересечены 3. Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых. накрест лежащие углы равны
соответственные углы : 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;
внутренние накрест лежащие углы : 3 и 5, 4 и 6;
внешние накрест лежащие углы : 1 и 7, 2 и 8;
внутренние односторонние углы : 3 и 6, 4 и 5;
внешние односторонние углы : 1 и 8, 2 и 7.
Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.
Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.
3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.
4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.
5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам , как углы вертикальные .
Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.
Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:
1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;
или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;
или 3. Соответственные углы одинаковые;
или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;
или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,
то первые две прямые параллельны.
Опре-де-ле-ние:
Две пря-мые на-зы-ва-ют-ся па-рал-лель-ны-ми , если они не пе-ре-се-ка-ют-ся (Рис. 1). Обо-зна-ча-ет-ся это так: .
Через точку, не ле-жа-щую на дан-ной пря-мой, про-хо-дит толь-ко одна пря-мая, па-рал-лель-ная дан-ной(Рис. 2).
Cледствия из аксиомы
След-ствие 1:
Если пря-мая пе-ре-се-ка-ет одну из па-рал-лель-ных пря-мых, то она пе-ре-се-ка-ет и дру-гую.
Дано:
.
До-ка-зать: .
До-ка-за-тель-ство:
Будем до-ка-зы-вать от про-тив-но-го. Пред-по-ло-жим, что с не пе-ре-се-ка-ет пря-мую b (Рис. 4).
Тогда:(по усло-вию), (по пред-по-ло-же-нию). То есть через точку М про-хо-дят две пря-мые (а и c ), па-рал-лель-ные пря-мой b . А это про-ти-во-ре-чит ак-сио-ме. Зна-чит, наше пред-по-ло-же-ние невер-ное. Тогда пря-мая c пе-ре-се-чет пря-мую b .
След-ствие 2:
Если две пря-мые па-рал-лель-ны тре-тьей пря-мой, то они па-рал-лель-ны (Рис. 5).
Дано: .
До-ка-зать: .
До-ка-за-тель-ство:
Будем до-ка-зы-вать от про-тив-но-го. Пред-по-ло-жим, что пря-мые a и b пе-ре-се-ка-ют-ся в неко-то-рой точке М (Рис. 6).
Таким об-ра-зом, по-лу-ча-ем про-ти-во-ре-чие с ак-си-о-мой: через точку М про-хо-дят две пря-мые, од-но-вре-мен-но па-рал-лель-ные тре-тьей пря-мой.
Сле-до-ва-тель-но, наше пред-по-ло-же-ние невер-но. Тогда .
Теоремы о свойствах параллельных прямы
Тео-ре-ма 1:
Если две пря-мые пе-ре-се-че-ны се-ку-щей, то на-крест ле-жа-щие углы равны (Рис. 7).
Дано: .
До-ка-зать: .
До-ка-за-тель-ство:
Будем до-ка-зы-вать от про-тив-но-го. Пред-по-ло-жим, что: .
Тогда от луча MN можно от-ло-жить един-ствен-ный угол ∠ PMN , ко-то-рый будет равен ∠ 2 (Рис. 7). Но тогда ∠ PMN и ∠ 2 - на-крест ле-жа-щие и равны. Тогда пря-мые PM и b - па-рал-лель-ны. Тогда через точку М про-хо-дят две пря-мые, па-рал-лель-ные тре-тьей. А имен-но:
По-лу-ча-ем про-ти-во-ре-чие с ак-си-о-мой. Зна-чит, наше пред-по-ло-же-ние невер-но. То есть: .
След-ствие:
Если пря-мая пер-пен-ди-ку-ляр-на одной из па-рал-лель-ных пря-мых, то она пер-пен-ди-ку-ляр-на и вто-рой.
Дано:
До-ка-зать:
До-ка-за-тель-ство:
1. с пе-ре-се-ка-ет а , а зна-чит, и пе-ре-се-ка-ет па-рал-лель-ную ей пря-мую, то есть b . Тогда с - се-ку-щая по от-но-ше-нию к а и b .
2. по-сколь-ку они яв-ля-ют-ся на-крест ле-жа-щи-ми. Тогда . То есть.
Тео-ре-ма 2:
Если две па-рал-лель-ные пря-мые пе-ре-се-че-ны се-ку-щей, то со-от-вет-ствен-ные углы равны.
Дано: - се-ку-щая.
До-ка-зать: (Рис. 9).
До-ка-за-тель-ство:
Если , то из преды-ду-щей тео-ре-мы сле-ду-ет, что на-крест ле-жа-щие углы равны. То есть .
ГЛАВА III.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
§ 38. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ УГЛАМИ,
ОБРАЗОВАННЫМИ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ И СЕКУЩЕЙ.
Мы знаем, что две прямые параллельны, если при пересечении их третьей прямой равны соответственные углы, или внутренние, или внешние накрест лежащие углы, или сумма внутренних, или сумма внешних односторонних углов равна 2d . Докажем, что верны и обратные теоремы, а именно:
Если две параллельные прямые пересечены третьей, то:
1) соответственные углы равны;
2) внутренние накрест лежащие углы равны;
3) внешние накрест лежащие углы равны;
4) сумма внутренних односторонних углов равна
2
d
;
5) сумма внешних односторонних углов равна
2
d
.
Докажем, например, что если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны.
Пусть прямые АВ и СD параллельны, а МN - их секущая (черт. 202).Докажем, что соответственные углы 1 и 2 равны между собой.
Допустим, что / 1 и / 2 не равны. Тогда при точке О можно построить / МОК, соответственный и равный / 2 (черт. 203).
Но если / МОК = / 2, то прямая ОК будет параллельна СD (§ 35).
Получили, что через точку О проведены две прямые АВ и ОК, параллельные прямой СD. Но этого быть не может (§ 37).
Мы пришли к противоречию, потому что допустили, что / 1 и / 2 не равны. Следовательно, наше допущение является неправильным и / 1 должен быть равен / 2, т. е. соответственные углы равны.
Установим соотношения между остальными углами. Пусть прямые АВ и СD параллельны, а МN - их секущая (черт. 204).
Мы только что доказали, что в этом случае соответственные углы равны. Положим, что какие-нибудь два из них имеют по 119°. Вычислим величину каждого из остальных шести углов. На основании свойств смежных и вертикальных углов мы получим, что четыре угла из восьми будут иметь по 119°, а остальные - по 61°.
Оказалось, что как внутренние, так и внешние накрест лежащие углы попарно равны, а сумма внутренних или внешних односторонних углов равна 180° (или 2d ).
То же самое будет иметь место и при любом другом значении равных соответственных углов.
Следствие 1. Если каждая из двух прямых АВ и СD параллельна одной и той же третьей прямой МN, то первые две прямые параллельны между собой (черт. 205).
В самом деле, проведя секущую ЕF (черт. 206), получим:
а) /
1 = /
3, так как АВ || МN; б) /
2 = /
3, так как СО || МN.
Значит, / 1 = / 2, а это углы соответственные при прямых АВ и СD и секущей ЕF, следовательно, прямые АВ и СD параллельны.
Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (черт. 207).
В самом деле, если ЕF _|_ АВ, то / 1 = d ; если АВ || СD, то / 1 = / 2.
Следовательно, / 2 = d т. е. ЕF _|_ СD .
Страница 1 из 2
Вопрос 1.
Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Ответ. Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Доказательство.
Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Допустим, что a и b не параллельны (рис. 69). Тогда они не пересекаются в некоторой точке C. Значит, через точку C проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана.
Вопрос 2.
Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?
Ответ.
Пары углов, которые образуются при пересечении прямых AB и CD секущей AC, имеют специальные названия.
Если точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними односторонними (рис. 71, а).
Если точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними накрест лежащими (рис. 71, б).
Рис. 71
Вопрос 3.
Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.
Ответ.
Секущая AC образует с прямыми AB и CD две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов. Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например угол 1 и угол 2, являются смежными внутренним накрест лежащим углам другой пары: угол 3 и угол 4 (рис. 72).
Рис. 72
Поэтому если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.
Пара внутренних накрест лежащих углов, например угол 1 и угол 2, и пара внутренних односторонних углов, например угол 2 и угол 3, имеют один угол общий – угол 2, а два других угла смежные: угол 1 и угол 3.
Поэтому если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних углов равна 180°. И обратно: если сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180°, то внутренние накрест лежащие углы равны. Что и требовалось доказать.
Вопрос 4.
Докажите признак параллельности прямых.
Ответ. Теорема 4.2 (признак параллельности прямых).
Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство.
Пусть прямые a и b образуют с секущей AB равные внутренние накрест лежащие углы (рис. 73, а). Допустим, прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке C (рис. 73, б).
Рис. 73
Секущая AB разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка C. Построим треугольник BAC 1 , равный треугольнику ABC, с вершиной C 1 в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных a, b и секущей AB равны. Так как соответствующие углы треугольников ABC и BAC 1 с вершинами A и B равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая AC 1 совпадает с прямой a, а прямая BC 1 совпадает с прямой b. Получается, что через точки C и C 1 проходят две различные прямые a и b. А это невозможно. Значит, прямые a и b параллельны.
Если у прямых a и b и секущей AB сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то, как мы знаем, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые a и b параллельны. Теорема доказана.
Вопрос 5. Объясните, какие углы называются соответственными. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот.
Ответ.
Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей. Что и требовалось объяснить.
Из равенства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Допустим, у нас есть две параллельные прямые (так как по условию внутренние накрест лежащие углы равны) и секущая, которые образуют углы 1, 2, 3. Углы 1 и 2 равны как внутренние накрест лежащие. А углы 2 и 3 равны как вертикальные. Получаем: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 и \(\angle\)2 = \(\angle\)3. По свойству транзитивности знака равенства следует, что \(\angle\)1 = \(\angle\)3. Аналогично доказывается и обратное утверждение.
Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны. Что и требовалось доказать.
Вопрос 6. Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?
Ответ.
Задача (8). Даны прямая AB и точка C, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку C можно провести прямую, параллельную прямой AB.
Решение. Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 75). Точка B лежит в одной из них. Отложим от полупрямой CA в другую полуплоскость угол ACD, равный углу CAB. Тогда прямые AB и CD будут параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей AC углы BAC и DCA внутренние накрест лежащие. А так как они равны, то прямые AB и CD параллельны. Что и требовалось доказать.
Сопоставляя утверждение задачи 8 и аксиомы IX (основного свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.
Вопрос 7. Докажите, что если две прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Ответ. Теорема 4.3
(обратная теореме 4.2). Если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Доказательство.
Пусть a и b – параллельные прямые и c – прямая, пересекающая их в точках A и B. Проведём через точку A прямую a 1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей c с прямыми a 1 и b, были равны (рис. 76).
По признаку параллельности прямых прямые a 1 и b параллельны. А так как через точку A проходит только одна прямая, параллельная прямой b, то прямая a совпадает с прямой a 1 .
Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с
параллельными прямыми a и b, равны. Теорема доказана.
Вопрос 8.
Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Ответ.
Из теоремы 4.2 следует, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Предположим, что две какие-либо прямые перпендикулярны третьей прямой. Значит, эти прямые пересекаются с третьей прямой под углом, равным 90°.
Из свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, следует, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Вопрос 9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°.
Ответ. Теорема 4.4.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство.
Пусть ABC – данный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по по разные стороны от прямой BC (рис. 78).
Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу ABD.
А сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD и секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.
Вопрос 10.
Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.
Ответ.
Действительно, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих двух углов уже не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.
Признаки параллельности двух прямых
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:
накрест лежащие углы равны, или
соответственные углы равны, или
сумма односторонних углов равна 180°, то
прямые параллельны (рис.1).
Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.
Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.
Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 - внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 - внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.
Следствие 1 . Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).
Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.
Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.
Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).
Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.
Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной
.
Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.
Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.
1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).
2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).
Справедлива и следующая теорема.
Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:
накрест лежащие углы равны;
соответственные углы равны;
сумма односторонних углов равна 180°.
Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).
Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.
Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.
Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.
Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.
