Выпуклый многогранник Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360 градусов.

Элементы призмы – Основание призмы 2 – Высота 3 – Боковая грань

Элементы пирамиды высота пирамиды 2-боковая грань пирамиды 3-основание пирамиды

Додекаэдр Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

ЦИЛИНДР Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра (3), а отрезки – его образующими (4). Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Радиусом цилиндра называется радиус его основания(1). Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (2). Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. 4 5

КОНУС Конусом называется тело, которое состоит из круга – основания конуса(5), точки, не лежащей в плоскости этого круга – вершины конуса(2), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания – образующих конуса. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания(1). Осью конуса называется прямая, содержащая его высоту. Полная поверхность конуса состоит из его основания(5) и боковой поверхности (3). Радиусом конуса – радиус его основания. СФЕРА И ШАР Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (3). Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние- радиусом сферы (1). Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью (2). Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью. 3

МКОУ «3наменская средняя общеобразовательная школа» Щигровского р-на Курской области

Урок - экскурсия

«Многогранники. Тела вращения»

(урок геометрии в 11 классе)

Подготовила: учитель математики Букреева Т. А.

ТЕМА УРОКА: Повторение по теме «Многогранники. Тела вращения».

Цель урока: 1. Повторить изученное.и обобщить знания учащихся.

2. Развитие познавательного интереса учащихся к предмету, расширение кругозора, межпредметных связей.

З. Воспитание познавательной активности учащихся.

План урока:

1. Вступительное слово учителя.

2. Экскурсия «Мир многогранников».

З. Экспериментальные опыты.

4. Практическая работа.

5. Решение задач.

7. Итог урока.

Оборудование: Модели многогранников, тел вращения, картина художника Шишкина «Корабельная роща», картина Сальвадора Дали «Тайная вечерня», таблицы с формулами, рисунки с изображениями многогранников, портреты ученых, сосуды с водой для проведения опытов, измерительные сосуды, компьютер, проектор.

Ход урока:

1 . Вступительное слово учителя

Ребята, сегодня мы проводим очередной урок повторения курса геометрии, который пройдет в необычной форме. Тема урока повторения «Многогранники. Тела вращения» Мы уже повторяли с вами основные понятия, касающиеся данной темы, решали задачи на применение различных формул. Но я думаю, что на сегодняшнем уроке вы узнаете еще немало интересных фактов, (рассказать план урока). А сейчас давайте немного вспомним.

Что называется многогранником?

Приведите примеры многогранников?

Что называется телом вращения?

Приведите примеры тел вращения.

Что является основными элементами любого многогранника? (вершины, ребра, грани).

Каким общим характерным свойством обладают все выпуклые многогранники?

(Сумма числа вершин и числа граней каждого многогранника на два больше числа его ребер, т.е. В+Г – Р = 2). Это предложение известно, как «теорема Эйлера».

Ребята, а сейчас я предлагаю вам совершить небольшую экскурсию в «Мир многогранников и тел вращения». А помогут нам в этом группа экскурсоводов. Пожалуйста, ребята. Вам слово.

"ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА" о многогранниках

В+Г-Р=2

2. Экскурсия.

1 экскурсовод . Всем хорошо известны такие тела как пирамида, конус, призма, цилиндр, шар и другие. А задумывались ли вы над тем, откуда произошло название этих фигур. Посмотрите, пожалуйста, на картину известного художника Шишкина «Корабельная роща», на которой изображены сосны. А сейчас обратите внимание на следующий рисунок (слайд №2). Здесь вы видите изображение конуса. А в руках у меня модель конуса. Вы скажите, а какая же связь между этой картиной и данным телом. Оказывается, самая непосредственная. На картине изображены сосны, а модель, которую я держу, называется конус, что в переводе с греческого языка означает «сосновая шишка». И, действительно, посмотрите, конус похож на шишку. эту «шишку» по-гречески называют «конос». Поэтому и тела такой формы получили название конуса.

А вообще, до Фалеса в Греции геометрией никто не занимался, поэтому у геометрических фигур не было названий. Греки стали называть фигуры словами, обозначавшими окружающие их предметы похожей формы. Например, для прокатки белья женщины применяли скалку, которую по-гречески называли «каландер», что в переводе означает «цилиндр». Поэтому все вытянутые тела с округлым сечением получили название цилиндра. Тело, изображенное на следующем рисунке, напоминает нам египетские пирамиды, поэтому такие тела и назвали пирамидами.

При этом в Египте основания пирамид были четырехугольные, а греки изучали и четырехугольные, и даже шестиугольные пирамиды.

А откуда получила свое имя «сфера?». По-гречески так называли мяч, в который играли дети (слайд №3).

2 экскурсовод. А сейчас обратите внимание на следующую группу многогранников (слайд №4): тетраэдр, куб, икосаэдр, октаэдр, додекаэдр. Как вы знаете, это правильные многогранники, которые также были известны ещё в Древней Греции и им посвящена 13 книга знаменитых «Начал» Евклида.

Учение о правильных многогранниках является венцом его «Начал». Сна­чала Евклид устанавливает существование этих многогранников, а затем до­казывает. В 18 последнем предложении 13 книги, что кроме упомянутых пяти тел, кет других правильных многогранников.

Но, оказывается, правильными многогранниками занимался и Архимед (слайд №5), однако его работы до нас не дошли. Архимеду принадлежит открытие 13 так называемых полуправильных многогранников, (архимедовых тел), каждый из которых ограничен не одноименными правильными многоугольниками и в котором равны многогранные углы и одноименные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней в одинаковом порядке. Число граней этих тел содержится между 8 и 92.

Древние греки специально изучали правильные многогранники, так как считали что формы этих тел присущи элементам первооснов бытия (слайд №6): а именно, огню – тетраэдр, земле – гексаэдр (куб), воздуху – октаэдр, воде – икосаэдр или говорили еще так; что эти четыре многогранника олицетворяли четыре стихии: огонь, землю, воду и воздух, А форму пятого многогранника, по мнению древних, имела вся Вселенная, то есть додекаэдр символизировал все мироздание.

И не зря, на репродукции картины Сальвадора Даля «Тайная вечерня» Христос со своими учениками изображены сидящими на фоне огромного прозрачного додекаэдра (слайд№7).

Заметили и то, что многие формы многогранников придумал не сам человек, их создала природа в виде кристаллов. Кристаллы – природные многогранники. Например, горный хрусталь или кварц. Напоминает отточенный с двух сторон карандаш, т.е форму шестиугольной призмы, на основание которой поставлены шестиугольные пирамиды. Исландский шпат – имеет форму косого параллелепипеда.

Пирит (или сернистый колчедан) чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба или даже усеченного октаэдра.

В начале прошлого столетия французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859) (слайд №8), геометрические работы которого относятся к «звездчатым многогранникам» открыл существование правильных невыпуклых многогранников. Стали известны 4 типа таких фигур. В 1812г. О. Коши доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует (слайд №9).

3 экскурсовод . А сейчас поговорим о формулах и об ученных, благодаря которым они появились. Мы изучили множество формул для вычисления объемов многогранников и круговых тел, для вычисления площадей их поверхностей. Но задумывались ли вы когда-нибудь над таким вопросом, а как давно появились эти формулы и кто первым их открыл? Оказывается, еще давно до нашей эры формулы объемов многих тел (параллелепипеда, призмы, цилиндра) были известны.

Позднее, благодаря трудам древнегреческих ученых Демокрита, Евдокса и Архимеда были открыты формулы для вычисления объемов пирамид, конуса, шара и других тел. Невозможно рассказать о вкладах каждого ученого, но нельзя не остановиться на одном из них – ученом и изобретателе Архимеде, который решил множество практических задач по математике и физике. За всю свою жизнь Архимед сделал так много, что обо всем не расскажешь. Он впервые решил много трудных задач по геометрии: нашел правила вычисления площадей и объемов различных тел. Среди всех задач была и такая «Найти отношение объёма шара, вставленного (вписанного) в цилиндр, к объему цилиндра».

Архимед определил, что объем вписанного цилиндра равен 2/3 объема цилиндра, а поверхность шара равна 2/3 поверхности цилиндра. Этому предложению Архимед придавал исключительное значение. Предание гласит, что Архимед высказал своим друзьям пожелание, чтобы после его смерти на его могильном холме вырезали чертеж к этой задаче, И еще об одном интересном факте я хочу рассказать. Архимед жил в небольшом городе Сиракузы, на острове Сицилия. Когда ему было около 70-ти лет, в 212 году до начала нашего летосчисления, его родной город осадили войска могущественного Рима и потребовали сдачи. Сиракузцы решили защищаться. Одним из руководителей обороны стал Архимед, под чьим руководством Сиракузцы почти год отбивались от многочисленных римских войск. Пользуясь своими знаниями о геометрии, Архимед, как говорят предания, построил громадные зеркала и с их помощью сжег римские корабли, а римские воины, увидев из-за крепостной стены веревку или бревно, с ужасом обращались в бегство с криком, что вот Архимед ещё выдумал новую машину на их погибель. Но римляне все - таки ворвались в город и перебили почти всех жителей. Среди погибших был Архимед. Предания говорят, что когда римский солдат уже замахнулся на Архимеда мечом, ученый крикнул «Не трогай мои чертежи». Желание Архимеда сбылось. На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром (слайд №10). Именно по этому чертежу 200 лет спустя нашли могилу ученого. Это символ открытия формул объема шара и площади сферы. Памяти Архимеда посвящено множество стихотворений. Послушайте одно из них. (Стихотворение).

ПАМЯТИ АРХИМЕДА

Далеко от нашего Союза

И до нас за очень много лет

В трудный год родные Сиракузы

Защищал ученый Архимед.

Многие орудья обороны

Были сконструированы им,

Долго бился город непреклонный,

Мудростью ученого храним.

Но законы воинского счастья

До сих пор никем не учтены,

И втекают вражеские части

В темные пробоины стены.

Замыслом неведомым охвачен,

Он не знал, что в городе враги,

И в раздумье на земле горячей

Выводил какие-то круги.

Он чертил задумчивый, не гордый,

Позабыв текущие дела, ­

И внезапно непонятной хордой

Тень копья чертеж пересекла.

Но убийц спокойствием пугая,

Он, не унижаясь, не дрожа,

Руку протянул, оберегая

Не себя, а знаки чертежа.

Он в глаза солдатом глянул смело:

«Убивайте, римляне - враги!

Убивайте, раз такое дело,

Но не наступайте на круги!

Я хотел бы так пером трудиться,

Родине, отдав себя вполне,

Чтоб на поле боя иль в больнице

За себя не страшно было мне.

Чтобы у меня хватило духа

Вымолвить погибели своей:

«Лично - убивай меня, старуха,

Но на строчки наступать не смей!»

3. Эксперементальные опыты

Учитель: Ребята, я думаю, мы совершили благодаря экскурсоводам, интересную историю в далекое прошлое. Если кого-то заинтересовала биография Архимеда, более подробно вы сможете прочитать на страницах стенгазеты «Математика и жизнь» обратиться к литературе, которая имеется в библиотеке. (Выставка).

А сейчас давайте с вами посетим лабораторию, где группа исследователей занималась экспериментальным доказательством некоторых формул, связанных с многогранниками и телами вращения. Пожалуйста, ребята, вам слово.

1 ученик. В результате проделанной нами исследовательской pa6oты, мы смогли с помощью опытов доказать справедливость некоторых формул. Сейчас мы вам продемонстрируем это.

Опыт №1. (объем пирамиды)

С помощью этого опыта убедимся в том, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы. Для этого возьмем два сосуда: один – имеющий форму призмы, другой – пирамиды. Пирамида и призма имеют равные высоты (h) проведенные к основанию, и равные площади оснований. Сосуд – пирамиду наполнили водой, затем перельем воду из сосуда – пирамиды в сосуд – призму. Видим, что емкость сосуда – пирамиды в три раза меньше емкости сосуда-призмы, т. е V пир = 1/3V пр.

Итак, убедились, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы.

Опыт №2 . (Свойство пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты)

Мы знаем такое утверждение, что две (треугольные) пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики, т.е. имеют равные объемы.

Убедимся в этом с помощью следующего опыта.

Опыт.

В сосуд, имеющий узкую отводную трубку, нальем воды так, чтобы избыток её вытек через отверстие. Подставив под отверстие измерительный стакан, в сосуд погружаем одну из пирамид. Узнав при помощи измерительного стакана, объем воды, вытесненной пирамидой, одновременно узнаем и объем самой пирамиды. Проделав опыт с другой пирамидой, видим, что если пирамиды имеют равновеликие основания и равные высоты, то их объемы равны.

1 пирамида – четырехугольная, в основании которой квадрат со стороной 4 см, т.е. площадь основания равна 16 см.

2 пирамида – четырехугольная, в основании прямоугольник со сторонами 2 и 8 см.

(объем тела, погруженного в жидкость, равен объему вытесненной телом жидкости).

Опыт №3 . (площадь поверхности сферы)

Невозможно найти площадь поверхности сферы таким же образом, как находят площадь поверхности многогранника, т.е. с помощью её развертки в плоскость, поскольку никакую сферу нельзя развернуть в плоскость. Но можно использовать следующий опыт.

Возьмем модель полу-шара и закрепим в него два гвоздя: один в центре большого круга, другой - в вершине полу-шара. Прикрепим конец нити к гвоздику, находящемуся в вершине полу-шара и покроем нитью поверхность полу-шара, складывая её спиралью. Затем также покроем основание полу-шара – большой круг. Измерив длины использованных нитей, видим, что длина нити, затраченной на покрытии основания, т. е круга радиусом, приблизительно в 2 раза меньше длины нити, покрывающей поверхности полу-шара.

Отсюда вывод: площадь поверхности полу-шара равна 2, а площадь по­верхности шара 4. Итак, площадь сферы вычисляется по формуле S = 4πR 2 .

Учитель: Описанный опыт – один из древнейших. С его помощью люди узнали, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его большого круга.

Вывод: Опытное обоснование теоретических фактов рассматривается как средство осуществления связи преподавания геометрии с практикой.

4. Практическая работа.

А сейчас я вам предлагаю небольшую практическую работу.

Задание. У вас на столах находятся различные геометрические тела. Выберите себе любую фигуру, выполните необходимые измерения и вычислите объем данного тела, используя соответствующую формулу. (Рассказать, как вычисляли объем).

5.Решение задач из занимательной геометрии.

Задачи вам предложит следующая группа ребят. (слайд №11)

Задача №1

Две правильные призмы поспорили о том,

В какой из них побольше содержится объем.

Одна сказала: «Если все факторы учесть,-

Ведь я в два раза выше и граней целых шесть,-

То нечего и спорить, победа тут за мной...»

Другая отвечала: «Не торопись, постой!

Хоть граней пять имею и ростом не крупна,

Но в основание больше в 2 раза сторона».

До вечера поспорив, ни с чем домой ушли.

Кто прав был в этом споре А ну, определи?

(Решение задачи №1)

Вывод: Чтобы сравнить, нужно найти объемы.

Задача №2

Футбольный мяч напоминает многогранник с 32 гранями, 20 из которых – правильные шестиугольники, а 12 – правильные пятиугольники. Сколько вершин у такого многогранника? (слайд №12)

Решение. В задаче речь идет об усеченном икосаэдре. Найдем общее число ребер этого многогранника. Так как он имеет 12 пятиугольных граней, то 5 12+620=180, т. е 2Р = 180, Р = 90. А по условию Г = 32, то по теореме Эйлера

В+Г - Р =2, т.е. В = Р - Г +2 = 90 - 32 +2=60

Теорема Эйлера : Сумма числа вершин и числа граней многогранника на 2 больше числа его ребер, т.е. В + Г - Р = 2

Утверждение: Число сторон всех граней равно удвоенному числу ребер,

т. к. каждое ребро принадлежит сразу двум граням, следовательно, при подсчете учитывается дважды. (слайд №13)

Задача №3

Имеется куча зерна пшеницы, которую нужно отправить на склад. Оцените объем зерна в куче. Как это сделать? (слайд №14)

Решение. По своей форме куча зерна заметно отличается от известных про­странственных фигур, но отдаленно она напоминает круговой конус.

Объем конуса V = 1/3·S·h. Даже приняв, что куча зерна имеет форму конуса, нам сложно непосредственно измерить R и Н. Можно считать, что основанием конуса - модели служит круг, окружность которого имеет такую же длину, как периметр основания кучи. Эту длину можно измерить непосредственно шнуром. Если она равна С, то R=C/2π. Высоту Н тоже неудобно замерить непосредственно, но легко с помощью шнура найти « перекидку». Р = А·В, тогда

Задача №4

А сейчас предлагаю вам послушать одну из тех немногих легенд, в которых при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такого рода затею, о которой я сейчас расскажу, он был бы обескуражен лицемерию результата. (слайд №15)

Итак, в поэме АС Пушкина «Скупой рыцарь» рассказана легенда восточных народов.

Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,-

И гордый холм возвысился.

И царь мог с высоты с весельем озирать.

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли.

Какой высоты мог быть такой холм? Ответив на этот вопрос, вы убедитесь в мизерности результата.

Решение. 1 горсть = 1/5л = 0,2 дм 3

Пусть войско из 100000 человек. Угол может быть только 45°(и меньше) иначе земля будет осыпаться. Нужно обладать богатым воображением, чтобы земляную кучу в полтора человеческих роста назвать гордым холмом.

6 Тест.

Учащиеся получают индивидуальные пакеты с тестами, которые начинают выполнять в классе, дома заканчивают.

7 Итог урока.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция 4 Многогранники и тела вращения

• Содержание
• 1. Призма и пирамида
• 2. Построение правильных пирамид и призм
• 3. Сечение прямоугольной трубы
• 4. Построение сечения пирамиды
• 5. Пересечение пирамиды линией и призмой
• 6. Последовательность построения 2-х многогранников
• 7. Построение сечения цилиндра
• 8. Построение развертки цилиндра
• 9. Возможные сечения конуса
• 10. Построение сечения конуса и его развертки
• 11. Построение сечения шара
• 12. Построение сечений тора

1. Призма и пирамида

Призматическая поверхность неограниченной длины на чертеже может быть изображена проекциями фигуры, полученной при пересечении боковых граней призмы плоскостью, и проекциями ребер призмы. Пересекая призматическую поверхность двумя параллельными между собой плоскостями, получают основания призмы. На чертеже основания призмы удобно располагать параллельно плоскости проекций. Чертеж призмы с проекциями оснований А"В"С", А"В"С и D " E " F ", D " E " F " , параллельных плоскости р 1 , приведен на

рис.1 (слева). Одноименные проекции ребер призмы параллельны между собой. пирамида призма многогранник конус

Для изображения поверхности пирамиды на чертеже используют фигуру сечения боковых граней пирамиды плоскостью и точку из пересечения - вершину. На чертеже пирамиду задают проекциями ее основания, ребер и вершины, усеченную пирамиду - проекциями обоих оснований и ребер.

Изображая пирамиду, удобно ее основание располагать параллельно плоскости проекций.

На рис. 1 (справа) приведен чертеж неправильной треугольной пирамиды с проекциями А", А" вершины и основанием, проекции которого D " B " C " и D " B " C , лежащим в плоскости проекций р 1 .

2. Построение правильных пирамид и призм

Изображения призм и пирамид приведены на рис.2. На приведенных чертежах ребра проецируются в виде отрезков прямых или в виде точек. Например, фронтальные и профильные проекции боковых ребер призм и пирамид - отрезки прямых. Горизонтальные проекции тех же боковых ребер призм на рис. 2 а, б - точки. Профильные проекции ребер оснований призм - точки 2" (3""), (5""), 6"" на рис. 2 а, точка 1"", (3"") на рис. 2, б, в.

Грани призм, пирамид, которые перпендикулярны плоскостям проекций, проецируются на них в виде отрезков прямых линии. Так, например, боковые грани призм (рис. 2 а, б) на горизонтальной проекции изображаются в виде отрезков прямых линий, образующих шестиугольник, в виде отрезков прямых линий проецируются на профильную плоскость проекций передняя и задняя грани призмы на рис. 2, а, задняя грань призмы и пирамиды на рис. 6.4, б, в.

Основания изображенных тел проецируются в отрезок прямой линии на фронтальную и профильную плоскости проекций.

Построение недостающих проекций точек на поверхности призм и пирамид по заданным фронтальным проекциям на рис. 2 показано стрелками и соответствующими координатами.

Профильные проекции А "", С" построены с помощью координат у А и у С , определяемых по горизонтальным проекциям.

Горизонтальная D " и профильная D "" проекции точки D на грани А -- 1 --2 пирамиды

(рис. 2, в) построены с помощью 2"4", 2""4"" отрезка прямой на этой грани. Аналогично, с помощью профильной проекции 1""5"" отрезка на грани А --1--2 пирамиды (рис.2, г) построена профильная проекция F "".

Горизонтальная проекция F " построена с помощью горизонтали той же грани, проходящей через проекцию 6" на проекции ребра А"1". Горизонтальная проекция Е" построена с помощью координаты Y Е определенной по профильной проекции Е"". В рассмотренных примерах координаты у А , у Е заданы относительно плоскостей д(д", д""), у С - относительно плоскости г (г", г""").

3. Сечение прямоугольной трубы

При пересечении призмы или пирамиды плоскостью в сечении получается плоская фигура, ограниченная линиями пересечения секущей плоскости с гранями призмы или пирамиды.

Простейший пример конструирования детали пересечением исходной заготовки в виде прямоугольной трубы плоскостью приведен на рис. 3. В этом случае деталь - волновод изготавливают, отрезая часть заготовки по плоскости д(д").

4. Построение сечения пирамиды

Наклонная площадка ABCD образована срезом верхней части пирамиды фронтально проецирующей плоскостью з (з"). Фронтальные проекции А ", В", С", D" точек находятся на фронтальном следе з" плоскости, а фронтальная проекция площадки ABCD совпадает со следом з".Профильная А ""В"" С ""D"" и горизонтальная А "В" С "D" проекции площадки построены по проекциям указанных точек на проекциях соответствующих ребер.

Часто требуется построить натуральный или истинный вид фигуры сечения тела плоскостью. На рис.4 для этой цели вверху слева применен способ перемены плоскостей проекций. В качестве дополнительной плоскости принята плоскость р 4 , параллельная плоскости з и перпендикулярная плоскости р 2 . Натуральный вид площадки - фигура сечения A IV B IV C IV D IV . Другой вариант построения натурального вида наклонной площадки ABCD показан на рис.4 справа внизу - A 0 B 0 C 0 D 0 . Для построения использованы новые координатные оси х 1 и у 1 лежащие в плоскости з. Ось х 1 параллельна плоскости р 2 , ось у 1 - перпендикулярна плоскости р 2 .

Координаты по оси х 1 точек A 0 , B 0 , С 0 , D 0 равны координатам по оси х 1 фронтальных проекций А"", В", С", D" этих точек. Координаты х 1 точек С 0 , С" по оси х 1 равны нулю. Координаты у В, y D по оси у 1 точек В 0 , D 0 равны координатам по этой оси (параллельной оси у) горизонтальных проекций В", D". Координаты по оси у 1 точек А, С равны нулю. По указанным координатам на осях х 1 , у 1 строят натуральную величину А 0 В 0 C 0 D 0 наклонной площадки ABCD.

5. Пересечение пирамиды линией и призмой

Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника сводится к построению линии пересечения многогранника проецирующей плоскостью, в которую заключают данную прямую. На рис. 5(слева) приведено построение проекций Е", Е" и F", F" точек пересечения прямой с проекциями M"N", M"N" с боковыми гранями пирамиды. Пирамида задана проекциями G", G" вершины и А"В"С",А"В"С основания. Прямая MN заключена во вспомогательную фронтальную проецирующую плоскость г(г"). Горизонтальные проекции Е" и F" искомых точек построены в пересечении проекции M"N" с горизонтальными проекциями 1", 3" и 2", 3" отрезков, по которым плоскость г пересекает боковые грани пирамиды. Фронтальные проекции Е" и F" определены по линиям связи.

Изображение пересекающихся между собой в пространстве призмы А и пирамиды Б представлено на рис. 5(справа). Линия их пересечения проходит через точки 1, 3, 4, 6 пересечения ребер пирамиды с гранями призмы и точки 2, 5 пересечения ребра призмы

с гранями пирамиды. В общем случае в пересечении многогранников получается пространственная замкнутая ломаная линия, которая в некоторых частных случаях может оказаться плоской. При построении линии пересечения многогранников применяют два способа и их комбинации.

1. Строят точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и Ребер второго с гранями первого. Через построенные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию пересечения данных многогранников. При этом отрезки прямых проводят лишь через те построенные точки, которые лежат в одной и той же грани.

2. Строят отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой. Эти отрезки являются звеньями ломаной линии пересечения многогранных поверхностей между собой.

Таким образом, построение линии пересечения двух многогранников сводится или к построению линии пересечения двух плоскостей между собой, или к построению точки пересечения прямой с плоскостью

6. Последовательность построения 2-х многогранников

Рис. 6, а. Прежде чем приступить к построениям, анализируют взаимное положение многогранников и их расположение относительно плоскостей проекций. В данном случае очевидно, что многогранники могут пересекаться только по боковым граням. Ребра призмы и боковые ребра пирамиды параллельны плоскости р 2 , основания пирамиды параллельны плоскости р 1 . Нижняя грань призмы и ее основания перпендикулярны плоскости р 1 .

Указанные особенности расположения призмы и пирамиды определяют и наиболее рациональный способ построения линии пересечения их поверхностей по точкам пересечения ребер призмы с гранями пирамиды и боковых ребер пирамиды с гранями призмы.

Построения показаны на рис. 6, б. Рассмотрим их для левой части чертежа (от оси пирамиды). Проекции 1", 1", 2", 2", 3", 3" ,4", 4" точек пересечения ребер призмы с гранями пирамиды найдены путем проведения через них фронтальных плоскостей в (в"), б (б"), г (г"). Они пересекают левые боковые грани пирамиды по фронталям - прямым линиям, параллельным левому ребру пирамиды. Положение их фронтальных проекций определено по горизонтальным проекциям 21", 22", и 24" точек пересечения горизонтальных проекций в", б" и г" плоскостей в, б, г с горизонтальной проекцией основания пирамиды. В пересечении фронтальных проекций этих линий с фронтальными проекциями ребер призмы найдены фронтальные проекции 1", 2" и 4" точек пересечения ребер призмы с левыми гранями пирамиды. По ним построены горизонтальные проекции 1", 2", 4".

Проекции 3", 3" точки пересечения ребер AD пирамиды с верхней задней гранью призмы найдены с помощью вспомогательной фронтальной плоскости з(з"), которая проведена через это ребро. Плоскость з пересекает грань призмы по прямой, параллельной ребрам призмы и проходящей через точку 23 на основании призмы. В пересечении фронтальных проекций этой прямой и ребра А" D" найдена фронтальная проекция 3" точки пересечения указанного ребра с задней верхней гранью призмы и на линии связи - горизонтальная проекция 3". С нижней гранью призмы, перпендикулярной плоскости р 2 , ребро AD пересекается в точке с фронтальной проекцией 5 ". В проекционной связи на проекции А" D" построена ее горизонтальная проекция 5".

Таким образом, проекции точек пересечения всех ребер призмы с левыми гранями пирамиды - 1", 1", 2", 2", 4", 4" и ребра AD пирамиды с двумя гранями призмы - 3", 3" и 5", 5" построены. Соединяем проекции точек, принадлежащих одной грани, и получаем проекции 1" 2" 3" 4" 5" 1" , 1" 2" 3" 4" 5" 1" ломаной линии пересечения.

Построение в правой части чертежа проекции 6" 7" 8" 9" 10" 6", 6" 7" 8" 9" 10" 6" линии пересечения аналогично. Порядок построения иллюстрируется стрелками.

После построения проекций линий пересечения многогранников обводят проекции оставшихся частей ребер многогранников.

Заметим, что переднее и заднее ребра пирамиды не пересекают поверхность призмы.

7. Построение сечения циліндра

Ось цилиндра и вся цилиндрическая поверхность перпендикулярны плоскости р 1 . Следовательно, все точки цилиндрической поверхности, в том числе и линия пересечения ее с плоскостью б(б"), проецируются на плоскость р 1 в окружность. На ней отмечают горизонтальные проекции точек 1", 2", 3", 4", 5", 6", 7", 8", 9" , 10", 11" и 12" эллипса, расположив их равномерно по окружности. В проекционной связи строят фронтальные проекции 1", 2", 3", 4", 5", 6", 7", 8", 9", 10", 11", 12" отмеченных точек на фронтальном следе б" секущей плоскости. Профильные проекции тех же точек строят по их горизонтальной и фронтальной проекциям на линиях связи.

Профильная проекция линии пересечения цилиндра с секущей плоскостью - эллипс, большая ось 10""4"" которого в данном случае равна диаметру цилиндра, а малая 1"" 7"" -профильная проекция отрезка -- 1-- 7.

Если расположить на рис.7 плоскость б под углом 45° к оси, то профильная проекция эллипса фигуры сечения будет окружность.

Если острый угол между осью цилиндра и секущей плоскостью будет меньше 45°, то малая ось эллипса на профильной проекции станет равной диаметру цилиндра.

Натуральный вид фигуры сечения цилиндра плоскостью б построен способом перемены плоскостей проекций на плоскости р 4, перпендикулярной плоскости р 2. Большая ось эллипса - отрезок 1 IV 7 IV = 1" 7", малая- отрезок 4 IV 10 IV =d

8. Построение развертки цилиндра

Построение развертки (рис.8). Полная развертка состоит из четырех частей: развертки боковой поверхности, ограниченной пятью отрезками прямой линии и кривой A 0 l 0 B 0 - синусоидой; натурального вида фигуры сечения; круга основания цилиндра; сегмента, полученного на верхнем основании.

Полная развертка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник с высотой, равной цилиндру, и длиной L = рd, где d - диаметр цилиндра. Для построения на развертке точек линии среза развертку основания цилиндра делят на такое же число частей, как и при построении проекций линии среза. Проводят через точки деления образующие и отмечают на них высоту до точек эллипса среза - точки 1 0 2 0 и 12 0 , 3 0 и 11 0 , 4 0 и 10 0 , 5 0 и 9 0 , 6 0 и 8 0 , 7 . Соединяют построенные точки плавной кривой - синусоидой. Натуральный вид фигуры среза цилиндра плоскостью выполнен ранее(1 IV 2 IV 3 IV …12 IV) и его по координатам строят на развертке.

Построим на чертеже цилиндра проекции точки, указанной на разверстке точкой М 0 . Для этого отметим хорду l 2 между образующей, на которой расположена точка М 0 , и образующей точки 4. По хорде l 2 строим горизонтальную проекцию М" и по известной высоте ее расположения найдем ее фронтальную проекцию М".

9. Возможные сечения конуса

10. Построение сечения конуса и его развертки

Развертка боковой поверхности прямого кругового конусапредставляет собой круговой сектор с углом ц = d/l Ч 180 ° при вершине, где d - диаметр основания, l - длина образующей конуса. Построение сектора (рис. 10 внизу) выполняют с разбивкой его на равные части соответственно разметке образующих на чертеже (см. рис. 10 конуса).

Используя положение образующих на чертеже и на развертке находят положение точек на развертке при помощи натуральных величин отрезков от вершины до соответствующих точек линии пересечения на чертеже. При этом расстояния G 0 A 0 и G 0 B 0 соответствуют фронтальным проекциям G"А " С"В". Отрезки образующих от вершины до других точек проецируются на фронтальную плоскость проекций с искажениями. Поэтому их натуральную величину находят вращением вокруг оси конуса до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций. Например, положение точки D 0 на развертке найдено при помощи отрезка G "D 1 " - натуральной величины образующей от вершины G до точки D точки E 0 , - при помощи отрезка G"Е 1 " (или G""E"").

Полная развертка поверхности усеченного конуса состоит из трех частей: 1) развертки боковой поверхности, ограниченной дугой окружности радиуса l, кривой B 0 I 0 F 0 E 0 D 0 C 0 A 0 и симметричной ей; круга основания; 3) натурального вида фигуры сечения.

На рис. 10 (вверху) показано построение фронтальной и горизонтальной проекций точки К по изображению К 0 этой точки на развертке (рис.10). Для построения проведена образующая G 0 13 0 через точку К 0 на развертке. С помощью отрезка l 1 построена горизонтальная проекция 13". Через нее проведены горизонтальная G" 13" и фронтальная G"13 " проекции образующей G - 13. Отрезок G 0 K 0 = G"K 1 " на проекции образующей G "7 ". Обратным вращением построена фронтальная проекция К" точки К на фронтальной проекции образующей G"13".Горизонтальная проекция К" построена с помощью линии связи.

11. Построение сечения шара

На рис. 11 показано построение проекций некоторых точек.

Проекции С" и D " построены на горизонтальной проекции параллели радиуса 0"1", построенной с

помощью проекции 1 ". Проекция С"" и D "" построены на профильной проекции окружности, проведенной на сфере через проекции C "(D ") так, что плоскость окружности параллельна плоскости проекций.

Проекция Е" является точкой касания эллипса (горизонтальной проекции окружности среза) и экватора сферы. Она построена в проекционной связи на горизонтальной проекции экватора по фронтальной проекции Е".

Горизонтальная проекция М" произвольной точки на линии среза построена с помощью параллели радиуса О"2" , фронтальная проекция которой проходит через проекции М "и 2 " . Проекция F "является точкой касания эллипса (профильной проекции окружности среза) и профильной проекции очерка сферы.

Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.

12. Построение сечений тора

В примере на рис. 12 показано применение вспомогательных плоскостей г 1 (г 1 ") и г 2 (г 2 ") , перпендикулярных оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью б (б""). Тор на рис.12 имеет два изображения - фронтальную проекцию и половину профильной проекции.

Полуокружность радиуса R 2 (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью г 2 ) касается проекции плоскости б(следа б""). Тем самым определяются профильная проекция 3"" и по ней фронтальная проекция 3"" одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R 1 - профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью г 1 . Она пересекает профильную проекцию плоскости б (след б"") в двух точках 5"" и 7"" - профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натурального вида фигуры сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния l 1 и l 2 на фронтальной проекции для нанесения точек 5 0 , 7 0 и 3 0 .

Точки 6 0 , 8 0 и 4 0 построены как симметричные. Построенная кривая пересечения поверхности тора плоскостью выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка.

Кривые пересечения тора с плоскостью, параллельной оси, приведены на рис.12 внизу. Они имеют общее название - кривые Персея (Персей -- геометр Древней Греции). Это кривые четвертого порядка. Вид кривых зависит от величины расстояния от секущей плоскости до оси тора.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Построение разверток поверхностей. Параллелепипед и его развертка. Чертеж развертки поверхности правильной пирамиды, прямого кругового конуса, прямого кругового цилиндра, правильной призмы, прямого эллиптического цилиндра. Способ нормального сечения.

контрольная работа , добавлен 11.11.2014


Пространственные тела и их сечения; точка, прямая, плоскость и векторы. Методы построения, задание и построение сечений пространственных тел, исследование свойств сечения. Способы визуализации трехмерного пространства. Создание компьютерного приложения.

курсовая работа , добавлен 15.07.2010


Изучение однородных выпуклых и однородных невыпуклых многогранников. Определение правильных многогранников. Двойственность куба и октаэдра. Теорема Эйлера. Тела Архимеда. Получение тел Кеплера-Пуансо. Многогранники в геологии, ювелирном деле, архитектуре.

презентация , добавлен 27.10.2013


Различные виды правильных и полуправильных многогранников, их основные свойства. Многогранные поверхности, многогранники, топологические, простейшие и правильные многогранники. Грани, ребра и вершины поверхности многогранника. Пирамиды и призмы.

курсовая работа , добавлен 21.08.2013


Фигуры вращения правильных многогранников, использование их теории. Виды поверхностей в фигурах вращения. Теорема о пересечении гиперболической и цилиндрической поверхностей вращения. Классификация задач на вращение многогранников и вычисление объемов.

реферат , добавлен 25.09.2009


Понятие многогранника и его элементы с точки зрения топологии. Определение площади и боковой поверхности призмы, параллелепипеда, пирамиды. Понятие правильных, полуправильных, звездчатых многогранников. Многогранники в разных областях культуры и науки.

курсовая работа , добавлен 02.04.2012


Куб (гексаэдр) – представитель правильных выпуклых многогранников, его объем, сечения, площадь и свойства. Характеристика типов правильных многогранников в XIII книге "Начал" Евклида и идеалистической картине мира Платона. Отношение к кубу в философии.

презентация , добавлен 03.11.2011


Определение пирамиды как геометрической фигуры, ее виды. Проекция треугольной пирамиды. Основные свойства полной и усеченной пирамиды, нахождение площади и объема, плоские сечения. Пример построения сечения пирамиды с плоскостью по заданным параметрам.

практическая работа , добавлен 16.06.2009


Определение цилиндра (кругового прямого и наклонного), прямого и усечённого конуса, шара и сферы. Основные формулы по расчету геометрических размеров фигур вращения: радиуса, площади боковой и полной поверхности. Объем шара по Архимеду. Уравнение сферы.

презентация , добавлен 18.04.2013


Понятие и историческая справка о конусе, характеристика его элементов. Особенности образования конуса и виды конических сечений. Построение сферы Данделена и ее параметры. Применение свойств конических сечений. Расчеты площадей поверхностей конуса.

1 вариант

1. Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называется:

1. Четырехугольник 2. Многоугольник 3. Многогранник 4. Шестиугольник

2. К многогранникам относятся:

1. Параллелепипед 2. Призма 3. Пирамида 4. Все ответы верны

3. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани называется:

1. Диагональю 2. Ребром 3. Гранью 4. Осью

4. У призмы боковые ребра:

1. Равны 2. Симметричны 3. Параллельны и равны 4. Параллельны

5. Грани параллелепипеда не имеющие общих вершин, называются:

1. Противолежащими 2. Противоположными 3. Симметричными 4. Равными

6. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, называется:

1. Медианой 2. Осью 3. Диагональю 4. Высотой

7. Точки, не лежащие в плоскости основания пирамиды, называются:

1. Вершинами пирамиды 2. Боковыми ребрами 3. Линейным размером

4. Вершинами грани

8. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется:

1. Медианой 2. Апофемой 3. Перпендикуляром 4. Биссектрисой

9. У куба все грани:

1. Прямоугольники 2. Квадраты 3. Трапеции 4. Ромбы

10. Тело, состоящее из двух кругов и всех отрезков, соединяющих точки кругов называется:

1. Конусом 2. Шаром 3. Цилиндром 4. Сферой

11. У цилиндра образующие:

1. Равны 2. Параллельны 3. Симметричны 4. Параллельны и равны

12. Основания цилиндра лежат в:

1. Одной плоскости 2. Равных плоскостях 3. Параллельных плоскостях 4. Разных плоскостях

13. Поверхность конуса состоит из:

1. Образующих 2. Граней и ребер 3. Основания и ребра 4. Основания и боковой поверхности

14. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется:

1. Радиусом 2. Центром 3. Осью 4. Диаметром

15. Всякое сечение шара плоскостью есть:

1. Окружность 2. Круг 3. Сфера 4. Полукруг

16. Сечение шара диаметральной плоскостью называется:

1. Большим кругом 2. Большой окружностью 3. Малым кругом 4. Окружностью

17. Круг конуса называется:

1. Вершиной 2. Плоскостью 3. Гранью 4. Основанием

18. Основания призмы:

1. Параллельны 2. Равны 3. Перпендикулярны 4. Не равны

19. Площадью боковой поверхности призмы называется:

1. Сумма площадей боковых многоугольников

2. Сумма площадей боковых ребер

3. Сумма площадей боковых граней

4. Сумма площадей оснований

20. Пересечения диагоналей параллелепипеда является его:

1. Центром 2. Центром симметрии 3. Линейным размером 4. Точкой сечения

21. Радиус основания цилиндра 1,5 см, высота 4см. Найти диагональ осевого сечения.

1. 4,2 см. 2. 10 см. 3. 5 см.

0 . Чему равен диаметр основания, если образующая равна 7 см?

1. 7 см. 2. 14 см. 3. 3,5 см.

23. Высота цилиндра равна 8 см, радиус 1 см. Найти площадь осевого сечения.

1. 9 см 2 . 2. 8 см 2 3. 16 см 2 .

24. Радиусы оснований усеченного конуса равны 15 см и 12 см, высота 4 см. Чему равна образующая конуса?

1. 5 см 2. 4 см 3. 10 см

МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

2 вариант

1. Вершины многогранника обозначаются:

1. а, в, с, d ... 2. А, В, С, D ... 3. ab , cd , ac , ad ... 4. АВ, СВ, А D , СD ...

2. Многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, совмещенных параллельным переносом, называется:

1. Пирамидой 2. Призмой 3. Цилиндром 4. Параллелепипедом

3. Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то призма является:

1. Наклонной 2. Правильной 3. Прямой 4. Выпуклой

4. Если в основании призмы лежит параллелограмм, то она является:

1. Правильной призмой 2. Параллелепипедом 3. Правильным многоугольником

4. Пирамидой

5. Многогранник, который состоит из плоского многоугольника, точки и отрезков соединяющих их, называется:

1. Конусом 2. Пирамидой 3. Призмой 4. Шаром

6. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются:

1. Гранями 2. Сторонами 3. Боковыми ребрами 4. Диагоналями

7. Треугольная пирамида называется:

1. Правильной пирамидой 2. Тетраэдром 3. Треугольной пирамидой 4. Наклонной пирамидой

8. К правильным многогранникам не относится:

1. Куб 2. Тетраэдр 3. Икосаэдр 4. Пирамида

9. Высота пирамиды является:

1. Осью 2. Медианой 3. Перпендикуляром 4. Апофемой

10. Отрезки, соединяющие точки окружностей кругов, называются:

1. Гранями цилиндра 2. Образующими цилиндра 3. Высотами цилиндра

4. Перпендикулярами цилиндра

1. Осью цилиндра 2. Высотой цилиндра 3. Радиусом цилиндра

4. Ребром цилиндра

12. Тело, которое состоит из точки, круга и отрезков соединяющих их, называется:

1. Пирамидой 2. Конусом 3. Шаром 4. Цилиндром

13. Тело, которое состоит из всех точек пространства, называется:

1. Сферой 2. Шаром 3. Цилиндром 4. Полусферой

14. Граница шара называется:

1. Сферой 2. Шаром 3. Сечением 4. Окружностью

15. Линия пересечения двух сфер есть:

1. Круг 2. Полукруг 3. Окружность 4. Сечение

16. Сечение сферы называется:

1. Кругом 2. Большой окружностью 3. Малым кругом 4. Малой окружностью

17. Грани выпуклого многогранника являются выпуклыми:

1. Треугольниками 2. Углами 3. Многоугольниками 4. Шестиугольниками

18. Боковая поверхность призмы состоит из…

1. Параллелограммов 2. Квадратов 3. Ромбов 4. Треугольников

19. Боковая поверхность прямой призмы равна:

1. Произведению периметра на длину грани призмы

2. Произведению длины грани призмы на основание

3. Произведению длины грани призмы на высоту

4. Произведению периметра основания на высоту призмы

20. К правильным многогранникам относятся:

21. Радиус основания цилиндра 2,5 см, высота 12см. Найти диагональ осевого сечения.

1. 15 см; 2. 14 см; 3. 13 см.

22. Наибольший угол между образующими конуса 60 0 . Чему равен диаметр основания, если образующая равна 5 см?

1. 5 см; 2. 10 см; 3. 2,5 см.

23. Высота цилиндра равна 4 см, радиус 1 см. Найти площадь осевого сечения.

1. 9 см 2 . 2. 8 см 2 3. 16 см 2 .

24. Радиусы оснований усеченного конуса равны 6 см и 12 см, высота 8 см. Чему равна образующая конуса?

1. 10 см; 2. 4 см; 3. 6 см.

Студент должен:

знать:

понятие многогранника, его поверхности, понятие правильного многогранника;

определение призмы, параллелепипеда; виды призм; определение пирамиды, правильной пирамиды;

понятие тела вращения и поверхности вращения;

определение цилиндра, конуса, шара, сферы;

уметь:

изображать и вычислять основные элементы прямых призм, параллелепипедов и пирамид;

строить простейшие сечения многогранников, указанных выше.

Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида . Тетраэдр.

Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.

Сечения куба, призмы и пирамиды.

Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

Цилиндр и конус. Усеченный конус . Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

Тема 9. «Начала математического анализа»

Студент должен:

знать:

определение числовой последовательности;

понятие производной, ее геометрический и физический смысл;

правила и формулы дифференцирования функций, перечисленных в программе дисциплины;

уравнение касательной к графику функции в указанной точке, понятие углового коэффициента прямой;

достаточные признаки возрастания и убывания функции, существования экстремумов;

определение второй производной, ее физический смысл;

общую схему исследования функций и построения графиков с помощью производной;

правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;

определение первообразной;

таблицу и правила вычисления первообразных;

понятие определенного интеграла, его геометрический смысл;

понятие криволинейной трапеции, способ вычисления площади криволинейной трапеции с помощью первообразной и определенного интеграла;

уметь:

дифференцировать функции, используя таблицу и правила вычисления производных;

вычислять значение производной функции в указанной точке;

находить угловой коэффициент касательной, составлять уравнение касательной к графику функции в указанной точке;

применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции;

находить производную второго порядка, применять вторую производную для исследования функции;

находить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке;

решать несложные прикладные задачи на нахождение наибольших и наименьших значений реальных величин;

вычислять первообразные элементарных функций с помощью таблиц и правил;

вычислять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;

вычислять определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница;

находить площади криволинейных трапеций.

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Понятие о непрерывности функции.

Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции .

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.