Что открытое множество. Замкнутые и открытые множества. Свойства открытых и замкнутых множеств
Доказательство .
1) Действительно, если точка а принадлежит объединению открытых множеств, то она принадлежит по крайней мере, одному из этих множеств, которое по условию теоремы является открытым. Значит, ему принадлежит некоторая окрестность О(а) точки а , но тогда эта окрестность принадлежит и объединению всех открытых множеств. Следовательно, точка а является внутренней точкой объединения. Так как а – произвольная точка объединения, то оно состоит лишь из внутренних точек, и, значит, по определению является открытым множеством.
2) Пусть теперь Х – пересечение конечного числа открытых множеств . Если а есть точка множества Х , то она принадлежит каждому из открытых множеств , и, следовательно, является внутренней точкой каждого из открытых множеств. Другими словами, существуют интервалы , которые целиком содержатся соответственно в множествах . Обозначим через наименьшее из чисел . Тогда интервал будет содержаться одновременно во всех интервалах , т.е. будет целиком содержаться и в , и в ,..., и в , т.е. . Отсюд а заключаем, что любая точка является внутренней точкой множества Х , т.е. множество Х является открытым.
Из этой теоремы следует, что пересечение конечного числа окрестностей точки а есть опять окрестность этой точки. Заметим, что пересечение бесконечного числа открытых множеств не всегда является открытым множеством. Например, пересечением интервалов ,… является множеством, состоящее из одной точки а, которое, не является открытым множеством (почему?).
Точка а называется предельной точкой множества Х, если в любой проколотой окрестности этой точки имеется, по крайней мере, одна точка множества Х.
Так, точка является предельной точкой отрезка , так как в любом проколотом интервале точки есть точка, принадлежащая этому отрезку. Например, точка , удовлетворяющая неравенству . И таких точек, очевидно, много.
Легко доказать, что каждая точка отрезка [0, 1] является предельной точкой данного отрезка. Другими словами, отрезок сплошь состоит из своих предельных точек. Аналогичное утверждение справедливо для любого отрезка. Заметим здесь, что все предельные точки множества принадлежат этому отрезку. Очевидно также, что все точки отрезка , будут предельными точками для интервала (0, 1 ) (докажите!). Однако, здесь уже две предельные точки 0 и 1 не принадлежат интервалу (0, 1). На данных примерах мы видим, что
предельные точки множества могут принадлежать ему и могут не принадлежать. Можно доказать, что в любой проколотой окрестности предельной точки а множества Х имеется бесконечно много точек множества Х.
Множество Х называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки.
Так,всякий отрезок есть замкнутое множество . Интервал (0, 1) не является замкнутым множеством, так как ему не принадлежат две его предельные точки 0 и 1 . Множество всех рациональных чисел Q не является замкнутым, так как не содержит некоторые свои предельные точки. В частности, число является предельной точкой множества Q (докажите!), но Q .
Так как каждая точка множества R является предельной точкой этого множества и принадлежит ему, то R – замкнутое множество .
Всякое конечное множество является замкнутым, так как множество его предельных точек является пустым множеством Æ , которое принадлежит самому множеству.
Замкнутые множества могут быть ограниченными, например, отрезок , и неограниченными, например, множество действительных чисел R.Верна
Открытые и замкнутые множества
Приложение 1 . Открытые и замкнутые множества
Множество M на прямой называется открытым , если каждая его точка сожержится в этом множестве вместе с некоторым интервалом. Замкнутым называется множество, содержащее все свои предельные точки (т. е. такие, что любой интервал, содержащий эту точку, пересекается со множеством еще хотя бы по одной точке). Например, отрезок является замкнутым множеством, но не является открытым, а интервал, наоборот, является открытым множеством, но не является замкнутым. Бывают множества, которые не являются ни открытыми, ни замкнутыми (например, полуинтервал). Существуют два множества, которые одновременно и замкнутые, и открытые – это пустое и все Z (докажите, что других нет). Легко видеть, что если M открыто, то [` M ] (или Z \ M – дополнение к множеству M до Z ) замкнуто. Действительно, если [` M ] не замкнуто, то оно не содержит какую-то свою предельную точку m . Но тогда m О M , причем каждый интервал, содержащий m , пересекается с множеством [` M ], т. е. имеет точку, не лежащую в M , а это противоречит тому, что M – открытое. Аналогично, тоже прямо из определения, доказывается, что если M замкнуто, то [` M ] открыто (проверьте!).
Теперь докажем следующую важную теорему.
Теорема. Любое открытое множество M можно представить в виде объединения интервалов с рациональными концами (т. е. с концами в рациональных точках).
Доказательство . Рассмотрим объединение U всех интервалов с рациональными концами, являющихся подмножествами нашего множества. Докажем, что это объединение совпадает со всем множеством. Действительно, если m – какая-то точка из M , то существует интервал (m 1 , m 2) М M , содержащий m (это следует из того, что M – открытое). На любом интервале можно найти рациональную точку. Пусть на (m 1 , m ) – это m 3 , на (m , m 2) – это m 4 . Тогда точка m покрыта объединением U , а именно, интервалом (m 3 , m 4). Таким образом, мы доказали, что каждая точка m из M покрыта объединением U . Кроме того, как очевидно следует из построения U , никакая точка, не содержащаяся в M , не покрыта U . Значит, U и M совпадают.
Важным следствием из этой теоремы является тот факт, что любое открытое множество есть счетное объединение интервалов.
Нигде не~плотные множества и~множества меры~ноль. Канторово множество>
Приложение 2 . Нигде не плотные множества и множества меры ноль. Канторово множество
Множество A называется нигде не плотным , если для любых различных точек a и b найдется отрезок [c , d ] М [a , b ], не пересекающийся с A . Например, множество точек последовательности a n = [ 1/(n )] является нигде не плотным, а множество рациональных чисел – нет.
Теорема Бэра. Отрезок нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.
Доказательство . Предположим, что существует последовательность A k нигде не плотных множеств, таких что И i A i = [a , b ]. Построим следующую последовательность отрезков. Пусть I 1 – какой-нибудь отрезок, вложенный в [a , b ] и не пересекающийся с A 1 . По определению нигде не плотного множества на отрезке I 1 найдется отрезок, не пересекающийся с множеством A 2 . Назовем его I 2 . Далее, на отрезке I 2 возьмем аналогичным образом отрезок I 3 , не пересекающийся с A 3 , и т. д. У последовательности I k вложенных отрезков есть общая точка (это одно из основных свойств действительных чисел). Эта точка по построению не лежит ни в одном из множеств A k , значит, эти множества не покрывают весь отрезок [a , b ].
Назовем множество M имеющим меру ноль , если для любого положительного e найдется последовательность I k интервалов с суммарной длиной меньше e , покрывающая M . Очевидно, что любое счетное множество имеет меру ноль. Однако бывают и несчетные множества, имеющие меру ноль. Построим одно такое, очень известное, называемое канторовым.
|
|
| Рис. 11 |
Возьмем отрезок . Поделим его на три равные части. Средний отрезок выкинем (рис. 11, а ). Останется два отрезка суммарной длины [ 2/3]. С каждым из них проделаем точно такую же операцию (рис. 11, б ). Останется четыре отрезка суммарной длины [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Продолжая так далее (рис. 11, в –е ) до бесконечности, получаем множество, которое имеет меру меньше любой наперед заданной положительной, т. е. меру ноль. Можно установить взаимно однозначное соответствие между точками этого множества и бесконечными последовательностями нулей и единиц. Если при первом "выкидывании" наша точка попала в правый отрезок, поставим в начале последовательности 1, если в левый – 0 (рис. 11, а ). Далее, после первого "выкидывания", получаем маленькую копию большого отрезка, с которой поступаем точно так же: если наша точка после выкидывания попала в правый отрезок, поставим 1, если в левый – 0, и т. д. (проверьте взаимную однозначность), рис. 11, б , в . Поскольку множество последовательностей нулей и единиц имеет мощность континуум, канторово множество также имеет мощность континуум. Кроме того, несложно доказать, что оно нигде не плотно. Однако неверно, что оно имеет строгую меру ноль (см. определение строгой меры). Идея доказательства этого факта в следующем: возьмем последовательность a n , очень быстро стремящуюся к нулю. Для этого подойдет, например, последовательность a n = [ 1/(2 2 n )]. После чего докажем, что этой последовательностью нельзя покрыть канторово множество (проделайте это!).
Приложение 3 . Задачи
Операции над множествами
Множества A и B называются равными , если каждый элемент множества A принадлежит множеству B , и наоборот. Обозначение: A = B .
Множество A называется подмножеством множества B , если каждый элемент множества A принадлежит множеству B . Обозначение: A М B .
1.
Для каждых двух из следующих множеств указать, является ли
одно из них подмножеством другого:
|
2. Докажите, что множество A тогда и только тогда является подмножеством множества B , когда каждый элемент, не принадлежащий B , не принадлежит A .
3. Докажите, что для произвольных множеств A , B и C
а) A М A ; б) если A М B и B М C , то A М C ;
в) A = B , если и только если A М B и B М A .
Множество называется пустым , если оно не содержит ни одного элемента. Обозначение: Ж .
4.
Сколько элементов у каждого из следующих множеств:
|
5. Сколько подмножеств у множества из трех элементов?
6. Может ли у множества быть ровно а) 0; б*) 7; в) 16 подмножеств?
Объединением множеств A и B x , что x О A или x О B . Обозначение: A И B .
Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из таких x , что x О A и x О B . Обозначение: A З B .
Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из таких x , что x О A и x П B . Обозначение: A \ B .
7. Даны множества A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D = {0,7,23,1998}. Найдите множества:
| а) A И B ; | б) A З B ; | в) (A З B )И D ; |
| г) C З (D З B ); | д) (A И B )З (C И D ); | е) (A И (B З C ))З D ; |
| ж) (C З A )И ((A И (C З D ))З B ); | з) (A И B ) \ (C З D ); | и) A \ (B \ (C \ D )); |
| к) ((A \ (B И D )) \ C )И B . |
8. Пусть A – множество четных чисел, а B – множество чисел, делящихся на 3. Найдите A З B .
9. Докажите, что для любых множеств A , B , C
а) A И B = B И A , A З B = B З A ;
б) A И (B И C ) = (A И B )И C , A З (B З C ) = (A З B )З C ;
в) A З (B И C ) = (A З B )И (A З C ), A И (B З C ) = (A И B )З (A И C );
г) A \ (B И C ) = (A \ B )З (A \ C ), A \ (B З C ) = (A \ B )И (A \ C ).
10. Верно ли, что для любых множеств A , B , C
| а) A З Ж = Ж , A И Ж = A ; | б) A И A = A , A З A = A ; | в) A З B = A Ы A М B ; |
| г) (A \ B )И B = A ; 7 д) A \ (A \ B ) = A З B ; | е) A \ (B \ C ) = (A \ B )И (A З C ); | |
| ж) (A \ B )И (B \ A ) = A И B ? |
Отображения множеств
Если каждому элементу x множества X поставлен в соотвествие ровно один элемент f (x ) множества Y , то говорят, что задано отображение f из множества X в множество Y . При этом, если f (x ) = y , то элемент y называется образом элемента x при отображении f , а элемент x называется прообразом элемента y при отображении f . Обозначение: f : X ® Y .
11. Нарисуйте всевозможные отображения из множества {7,8,9} в множество {0,1}.
Пусть f : X ® Y , y О Y , A М X , B М Y . Полным прообразом элемента y при отображении f называется множество {x О X | f (x ) = y }. Обозначение: f - 1 (y ). Образом множества A М X при отображении f называется множество {f (x ) | x О A }. Обозначение: f (A ). Прообразом множества B М Y называется множество {x О X | f (x ) О B }. Обозначение: f - 1 (B ).
12. Для отображения f : {0,1,3,4} ® {2,5,7,18}, заданного картинкой, найдите f ({0,3}), f ({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).
| а) б) в) |
13. Пусть f : X ® Y , A 1 , A 2 М X , B 1 , B 2 М Y . Всегда ли верно, что
а) f (X ) = Y ;
б) f - 1 (Y ) = X ;
в) f (A 1 И A 2) = f (A 1)И f (A 2);
г) f (A 1 З A 2) = f (A 1)З f (A 2);
д) f - 1 (B 1 И B 2) = f - 1 (B 1)И f - 1 (B 2);
е) f - 1 (B 1 З B 2) = f - 1 (B 1)З f - 1 (B 2);
ж) если f (A 1) М f (A 2), то A 1 М A 2 ;
з) если f - 1 (B 1) М f - 1 (B 2), то B 1 М B 2 ?
Композицией отображений f : X ® Y и g : Y ® Z называется отображение, сопоставляющее элементу x множества X элемент g (f (x )) множества Z . Обозначение: g ° f .
14. Докажите, что для произвольных отображений f : X ® Y , g : Y ® Z и h : Z ® W выполняется следующее: h ° (g ° f ) = (h ° g )° f .
15. Пусть f : {1,2,3,5} ® {0,1,2}, g : {0,1,2} ® {3,7,37,137}, h : {3,7,37,137} ® {1,2,3,5}– отображения, показанные на рисунке:
| f : g : h : |
Нарисуйте картинки для следующих отображений:
а) g ° f ; б) h ° g ; в) f ° h ° g ; г) g ° h ° f .
Отображение f : X ® Y называется биективным , если для каждого y О Y найдется ровно один x О X такой, что f (x ) = y .
16. Пусть f : X ® Y , g : Y ® Z . Верно ли, что если f и g биективны, то и g ° f биективно?
17. Пусть f : {1,2,3} ® {1,2,3}, g : {1,2,3} ® {1,2,3}, – отображения, изображенные на рисунке:
18. Про каждые два из следующих множеств выясните, существует ли биекция из первого во второе (надлежит считать, что ноль – натуральное число):
а) множество натуральных чисел;
б) множество четных натуральных чисел;
в) множество натуральных чисел без числа 3.
Метрическим пространством называется множетсво X с заданной метрикой r : X ×X ® Z
1) " x ,y О X r (x ,y ) і 0, причем r (x ,y ) = 0, если и только если x = y (неотрицательность ); 2) " x ,y О X r (x ,y ) = r (y ,x ) (симметричность ); 3) " x ,y ,z О X r (x ,y ) + r (y ,z ) і r (x ,z ) (неравенство треугольника ). 19 19. X
а) X = Z , r (x ,y ) = | x - y | ;
б) X = Z 2 , r 2 ((x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = Ц {(x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
в) X
= C
[a
,b
a
,b
] функций,
Открытым (соответственно, замкнутым ) шаром радиуса r в пространстве X с центром в точке x называется множество U r (x ) = {y О x : r (x ,y ) < r } (соответственно, B r (x ) = {y О X : r (x ,y ) Ј r }).
Внутренней точкой множества U М X U
открытым окрестностью этой точки.
Предельной точкой множества F М X F .
замкнутым
20. Докажите, что
21. Докажите, что
б) объединение множества A замыкание A
Отображение f : X ® Y называется непрерывным
22.
23. Докажите, что
F (x ) = inf y О F r (x ,y
F .
24. Пусть f : X ® Y – . Верно ли, что обратное к нему непрерывно?
Непрерывное взаимно однозначное отображение f : X ® Y гомеоморфизмом . Пространства X , Y гомеоморфными .
25.
26. Для каких пар X , Y f : X ® Y , которое не склеивает точки (т. е. f (x ) № f (y ) при x № y вложениями )?
27*. локальным гомеоморфизмом (т. е. у каждой точки x плоскости и f (x ) тора существуют такие окрестности U и V , что f гомеоморфно отображает U на V ).
Метрические пространства и непрерывные отображения
Метрическим пространством называется множетсво X с заданной метрикой r : X ×X ® Z , удовлетворяющее следующим аксиомам:
1) " x ,y О X r (x ,y ) і 0, причем r (x ,y ) = 0, если и только если x = y (неотрицательность ); 2) " x ,y О X r (x ,y ) = r (y ,x ) (симметричность ); 3) " x ,y ,z О X r (x ,y ) + r (y ,z ) і r (x ,z ) (неравенство треугольника ). 28. Докажите, что следующие пары (X ,r ) являются метрическими пространствами:
а) X = Z , r (x ,y ) = | x - y | ;
б) X = Z 2 , r 2 ((x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = Ц {(x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
в) X
= C
[a
,b
] – множество непрерывных на [a
,b
] функций,
Открытым (соответственно, замкнутым ) шаром радиуса r в пространстве X с центром в точке x называется множество U r (x ) = {y О x : r (x ,y ) < r } (соответственно, B r (x ) = {y О X : r (x ,y ) Ј r }).
Внутренней точкой множества U М X называется такая точка, которая содержится в U вместе с некоторым шаром ненулевого радиуса.
Множество, все точки которого внутренние, называется открытым . Открытое множество, содержащее данную точку, называется окрестностью этой точки.
Предельной точкой множества F М X называется такая точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много точек множества F .
Множество, которое содержит все свои предельные точки, называется замкнутым (сравните это определение с тем, которое было дано в приложении 1).
29. Докажите, что
а) множество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто;
б) конечное объединение и счетное пересечение замкнутых множеств замкнуто;
в) счетное объединение и конечное пересечение открытых множеств открыто.
30. Докажите, что
а) множество предельных точек любого множества является замкнутым множеством;
б) объединение множества A и множества его предельных точек ( замыкание A ) является замкнутым множеством.
Отображение f : X ® Y называется непрерывным , если прообраз каждого открытого множества открыт.
31. Докажите, что это определение согласуется с определением непрерывности функций на прямой.
32. Докажите, что
а) расстояние до множества r F (x ) = inf y О F r (x ,y ) является непрерывной функцией;
б) множество нулей функции пункта а) совпадает с замыканием F .
33. Пусть f : X ® Y
Непрерывное взаимно однозначное отображение f : X ® Y , обратное к которому также непрерывно, называется гомеоморфизмом . Пространства X , Y , для которых такое отображение существует, называются гомеоморфными .
34. Для каждой пары из следующих множеств установите, гомеоморфны ли они:
35. Для каких пар X , Y пространств из предыдущей задачи существует непрерывное отображение f : X ® Y , которое не склеивает точки (т. е. f (x ) № f (y ) при x № y – такие отображения называют вложениями )?
36*. Придумайте непрерывное отображение плоскости на тор, которое было бы локальным гомеоморфизмом (т. е. у каждой точки x плоскости и f (x ) тора существуют такие окрестности U и V , что f гомеоморфно отображает U на V ).
Полнота. Теорема Бэра
Пусть X
– метрическое пространство. Последовательность
x
n
его элементов называется фундаментальной
, если
|
37. Докажите, что сходящаяся последовательность фундаментальна. Верно ли обратное утверждение?
Метрическое пространство называется полным , если всякая фундаментальная последовательность в нем сходится.
38. Верно ли, что пространство, гомеоморфное полному, полно?
39. Докажите, что замкнутое подпространство полного пространства само полно; полное подпространство произвольного пространства замкнуто в нем.
40. Докажите, что в полном метрическом пространстве последовательность вложенных замкнутых шаров с радиусами, стремящимися к нулю, имеет общий элемент.
41. Можно ли в предыдущей задаче убрать условие полноты пространства или стремления к нулю радиусов шаров?
Отображение f
метрического пространства X
в себя
называется сжимающим
, если
|
42. Докажите, что сжимающее отображение непрерывно.
43. а) Докажите, что сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет ровно одну неподвижную точку.
б) На карту России масштаба 1:5 000 000 положили карту России масштаба 1:20 000 000. Докажите, что найдется точка, изображения которой на обеих картах совпадут.
44*. Существует ли неполное метрическое пространство, в котором верно утверждение задачи , а?
Подмножество метрического пространства называется всюду плотным , если его замыкание совпадает со всем пространством; нигде не плотным – если его замыкание не имеет непустых открытых подмножеств (сравните это определение с тем, которое было дано в приложениие 2).
45. а) Пусть a , b , a , b О Z и a < a < b < b . Докажите, что множество непрерывных функций на [a ,b ], монотонных на , нигде не плотно в пространстве всех непрерывных функций на [a ,b ] c равномерной метрикой.
б) Пусть a
, b
, c
, e
О
Z
и a
< b
, c
> 0, e
> 0.
Тогда множество непрерывных функций на [a
,b
], таких что
|
46. (Обобщенная теорема Бэра .) Докажите, что полное метрическое пространство нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств.
47. Докажите, что множество непрерывных, не монотонных ни на каком непустом интервале и нигде не дифференцируемых функций, определенных на отрезке , всюду плотно в пространстве всех непрерывных функций на с равномерной метрикой.
48*. Пусть f – дифференцируемая функция на отрезке . Докажите, что ее производная непрерывна на всюду плотном множестве точек. Это определение лебеговой меры ноль. Если счетное число интервалов заменить на конечное, то получится определение жордановой меры ноль.
Доказательство. 1).Пусть Х – объединение конечного числа замкнутых множеств . Если а – какая-либо предельная точка множества Х , то она должна быть также предельной точкой, по крайней мере, одного из множеств объединения. В самом деле, если а не является предельной точкой ни ни ..., ни , то это означает по определению предельной точки, что существует окрестность , в которой нет ни одной точки множества существует окрестность , в которой нет ни одной точки множества ..., существует окрестность , в которой нет ни одной точки множества . Пусть является пересечением окрестностей , , ..., . Ясно, что есть окрестность точки а (почему?), в которой нет ни одной точки ни ни ..., ни , а, следовательно, ни одной точки объединения Х исходных множеств, т.е. точка а не является предельной точкой множества Х, что противоречит предположению. Значит, точка а является предельной точкой, например множества . Так как замкнуто, то , а, следовательно, , т.е. Х – замкнутое множество.
2) Если точка а есть некоторая предельная точка пересечения любого семейства замкнутых множеств, то она является предельной точкой каждого из этих множеств (почему?). Так как каждое из множеств замкнуто, то она принадлежит ему, а, следовательно, и пересечению указанных множеств.Отсюда заключаем, что и пересечение – замкнутое множество.
Заметим, что объединение бесконечного семейства замкнутых множеств может и не быть замкнутым множеством.
Действительно, множество {x}, где х – рациональное число, является замкнутым как конечное множество, а множество всех рациональных чисел Q , где Q, не явл яется замкнутым множеством.
Точка называется изолированной точкой множества Х, если существует окрестность О(а) этой точки, не содержащая иных точек из Х, кроме точки а.
Так все точки множества {0, 1, 2} являются изолированными точками этого множества (докажите!).
Точка а называется граничной точкой множества Х, если в любой ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие множеству Х, так и точки ему не принадлежащие. Множество всех граничных точек множества Х называется его границейи обозначается .
Заметим, что граничная точка множества Х может быть либо изолированной точкой этого множества, если в некоторой окрестности ее содержится лишь одна точка а этого множества Х, либо предельной, если в любой окрестности этой точки есть точки множества Х, отличные от а .
Так, граничными точками отрезка являются его концы (докажите!), которые одновременно являются его предельными точками. Граница отрезка , т.е. граница принадлежит самому множеству. Для множества (0, 1) граничными точками будут точки 0 и 1, однако здесь граница , т.е. граница не принадлежит самому множеству.
Значит, граничные точки могут как принадлежать множеству так и не принадлежатьему. Можно доказать, чтомножество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу.
Всякое ограниченное замкнутое множество называется компактным множеством (или компактом). Например, отрезок – компактное множество. Любое конечное множество также является компактом . Компактные множества играют важную роль в математическом анализе и других науках.
Вопросы и задания для самопроверки.
1. Дайте определение окрестности точки. Приведите примеры окрестностей.
2. Докажите, что в любой окрестности О(а) точки а содержится симметричная -окрестность , и наоборот. Приведите конкретные примеры.
3. Дайте определение внутренней точки множества и открытого множества. Приведите примеры открытых множеств.
4. Докажите, что интервал (a, b) – открытое множество.
5. Докажите, что объединение любого семейства открытых множеств – открытое множество. Приведите примеры.
6. Докажите, что пересечение конечного числа открытых множеств – открытое множество. Приведите примеры.
7. Может ли быть открытым пересечение бесконечного семейства открытых множеств? Приведите примеры.
8. Что такое предельная точка множества?
9. Всегда ли предельная точка множества принадлежит множеству? Приведите примеры.
10. Докажите, что множество {0, 1, 3} не имеет предельных точек. Имеет ли оно внутренние точки?
11. Докажите, что каждая точка отрезка является предельной точкой этого можества.
12. Докажите, что точки a и b интервала (a, b) являются предельными точками этого множества.
13. Докажите, что в любой проколотой окрестности предельной точки а множества Х содержится бесконечно много различных точек данного множества.
14. Дайте определение замкнутого множества. Приведите примеры.
15. Может ли быть замкнутым открытое множество?
16. Приведите примеры открытых ограниченных и неограниченных множеств.
17. Может ли быть замкнутым неограниченное множество? Приведите примеры.
18. Докажите, что объединение двух замкнутых множеств – замкнутое множество. Приведите примеры.
19. Докажите, что пересечение любого семейства замкнутых множеств – замкнутое множество.
20. Приведите пример объединения бесконечного семейства замкнутых множеств, которое не является замкнутым множеством.
21. Дайте определение граничной точки множества. Всегда ли граничная точка множества принадлежит этому множеству?
22. Докажите, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу.
23. Какое множество называется компактным? Приведите примеры компактных и некомпактных множеств.
Типы множеств вещественной прямой
Положение точки относительно множества A
Односторонние окрестности
Топология вещественной прямой
Числовые множества
Основные множества чисел это отрезок и интервал (a; b).
Числовое множество A называется ограниченным сверху , если существует такое число M, что a £ M для любого a Î A. Число M в этом случае называется верхней гранью или мажорантой множества.
Супремумом множества A, sup A называется …
… наименьшая из его мажорант;
… число M такое, что a £ M для любого a Î A и в любой окрестности M есть элемент множества A;
Аналогично вводятся понятия «ограниченное снизу », «миноранта » (нижняя грань), и «инфимум » (точная нижняя грань).
Полнота вещественной прямой (равносильные формулировки)
1. Свойство вложенных отрезков. Пусть заданы отрезки É É … É É … Они имеют хотя бы одну общую точку. Если длины отрезков можно выбрать сколь угодно малыми, то такая точка единственна.
Следствие: метод дихотомии для теорем существования . Пусть задан отрезок . Делим его пополам и выбираем одну из половин (так, чтобы она обладала нужным свойством). Эту половину обозначим через . Продолжаем этот процесс неограниченно. Получим систему вложенных отрезков, длины которых приближаются к 0. Значит, они имеют ровно одну общую точку. Осталось доказать, что она и будет искомой.
2. Для любого непустого ограниченного сверху множества существует супремум.
3. Для любых двух непустых множеств, одно из которых лежит левее другого, существует разделяющая их точка (существование сечений).
Окрестности:
U(x) = (a, b), a < x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;
U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;
U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e).
Проколотые окрестности:
Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ {x}; Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) = Ue(x) \ {x}
Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = }
