Как определить тригонометрические функции числового аргумента. Тригонометрические функции числового аргумента. Свойства и графики тригонометрических функций. Вступительное слово учителя

Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin t. Правда, правило соответствия довольно сложное, оно, как мы видели выше, заключается в следующем.

Чтобы по числу t найти значение sin t, нужно:

1) расположить числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);

2) на окружности найти точку, соответствующую числу t;

3) найти ординату этой точки.

Эта ордината и есть sin t.

Фактически речь идет о функции u = sin t, где t -- любое действительное число.

Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.

Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций, некоторые из этих соотношений мы уже получили:

sin 2 t+cos 2 t = 1

Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее tg t и ctg t:

Все указанные формулы используются в тех случаях, когда, зная значение какой-либо тригонометрической функции, требуется вычислить значения остальных тригонометрических функций.

Термины «синус», «косинус», «тангенс» и «котангенс» на самом деле были знакомы, правда, использовали их до сих пор в несколько иной интерпретации: в геометрии и в физике рассматривали синус, косинус, тангенс и котангенс у г л а (а не

числа, как это было в предыдущих параграфах).

Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла -- это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, а тангенс (котангенс) угла -- это отношение катетов прямоугольного треугольника. Иной подход к понятиям синуса, косинуса, тангенса и котангенса развивали в предыдущих параграфах. На самом деле эти подходы взаимосвязаны.

Возьмем угол с градусной мерой б o и расположим его в модели «числовая окружность в прямоугольной системе координат» так, как показано на рис. 14

вершину угла совместим с центром

окружности (с началом системы координат),

а одну сторону угла совместим с

положительным лучом оси абсцисс. Точку

пересечения второй стороны угла с

окружностью обозначим буквой М. Ордина-

рис 14 б o , а абсциссу этой точки -- косинусом угла б o .

Для отыскания синуса или косинуса угла б o совсем не обязательно каждый раз делать указанные весьма сложные построения.

Достаточно заметить, что дуга AM составляет такую же часть длины числовой окружности, какую угол б o составляет от утла 360°. Если длину дуги AM обозначить буквой t, то получим:

Таким образом,

Например,

Считают, что 30° -- это градусная мера угла, а -- радианная мера того же угла: 30° = рад. Вообще:

В частности, рад, откуда, в свою очередь, получаем.

Так что же такое 1 радиан? Есть различные меры длин отрезков: сантиметры, метры, ярды и т.д. Есть и различные меры для обозначения величин углов. Мы рассматриваем центральные углы единичной окружности. Угол в 1° -- это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую часть окружности. Угол в 1 радиан -- это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т.е. на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Из формулы, получаем, что 1 рад = 57,3°.

Рассматривая функцию u = sin t (или любую другую тригонометрическую функцию), мы можем считать независимую переменную t числовым аргументом, как это было в предыдущих параграфах, но можем считать эту переменную и мерой угла, т.е. угловым аргументом. Поэтому, говоря о тригонометрической функции, в определенном смысле безразлично считать ее функцией числового или углового аргумента.

Тригонометрические функции числового аргумента.

Тригонометрические функции числового аргумента t – это функции вида y = cos t,
y = sin t, y = tg t, y = ctg t.

С помощью этих формул через известное значение одной тригонометрической функции можно найти неизвестные значения других тригонометрических функций.

Пояснения .

1) Возьмем формулу cos 2 t + sin 2 t = 1 и выведем с ее помощью новую формулу.

Для этого разделим обе части формулы на cos 2 t (при t ≠ 0, то есть t ≠ π/2 + πk ). Итак:

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Первое слагаемое равно 1. Мы знаем, что отношение синуса к конисусу – это тангенс, значит, второе слагаемое равно tg 2 t. В результате мы получаем новую (и уже известную вам) формулу:

2) Теперь разделим cos 2 t + sin 2 t = 1 на sin 2 t (при t ≠ πk ):

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, где t ≠ πk + πk , k – целое число
sin 2 t sin 2 t sin 2 t

Отношение косинуса к синусу – это котангенс. Значит:

Зная элементарные основы математики и выучив основные формулы тригонометрии, вы легко сможете самостоятельно выводить большинство остальных тригонометрических тождеств. И это даже лучше, чем просто зазубривать их: выученное наизусть быстро забывается, а понятое запоминается надолго, если не навсегда. К примеру, необязательно зазубривать, чему равна сумма единицы и квадрата тангенса. Забыли – можно легко вспомнить, если вы знаете самую простую вещь: тангенс – это отношение синуса к косинусу. Примените вдобавок простое правило сложения дробей с разными знаменателями – и получите результат:

sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Точно так же легко можно найти сумму единицы и квадрата котангенса, как и многие другие тождества.

Тригонометрические функции углового аргумента.

В функциях у = cos t , у = sin t , у = tg t , у = ctg t переменная t может быть не только числовым аргументом. Ее можно считать и мерой угла – то есть угловым аргументом.

С помощью числовой окружности и системы координат можно легко найти синус, косинус, тангенс, котангенс любого угла. Для этого должны быть соблюдены два важных условия:
1) вершиной угла должен быть центр окружности, который одновременно является центром оси координат;

2) одной из сторон угла должен быть положительный луч оси x .

В этом случае ордината точки, в которой пересекаются окружность и вторая сторона угла, является синусом этого угла, а абсцисса этой точки – косинусом данного угла.

Пояснение . Нарисуем угол, одна сторона которого – положительный луч оси x , а вторая сторона выходит из начала оси координат (и из центра окружности) под углом 30º (см.рисунок). Тогда точка пересечения второй стороны с окружностью соответствует π/6. Нам известны ордината и абсцисса этой точки. Они же являются косинусом и синусом нашего угла:

√3 1
--; --
2 2

А зная синус и косинус угла, вы уже легко сможете найти его тангенс и котангенс.

Таким образом, числовая окружность, расположенная в системе координат, является удобным способом найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла.

Но есть более простой способ. Можно и не рисовать окружность и систему координат. Можно воспользоваться простыми и удобными формулами:

Пример : найти синус и косинус угла, равного 60º.

Решение :

π · 60 π √3
sin 60º = sin --- = sin -- = --
180 3 2

π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2

Пояснение : мы выяснили, что синус и косинус угла 60º соответствуют значениям точки окружности π/3. Далее просто находим в таблице значения этой точки – и таким образом решаем наш пример. Таблица синусов и косинусов основных точек числовой окружности – в предыдущем разделе и на странице «Таблицы».

В настоящей главе мы введем тригонометрические функции числового аргумента. Многие вопросы математики, механики, физики и других наук приводят к тригонометрическим функциям не только угла (дуги), но и аргументов совершенно различной природы (длина, время, температура и т. д.). До сих пор под аргументом тригонометрической функции понимался угол, измеренный в градусах или радианах. Теперь мы обобщим понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, введя их как функции числового аргумента.

Определение. Тригонометрическими функциями числового аргумента называются одноименные тригонометрические функции угла, равного радианам.

Поясним это определение на конкретных примерах.

Пример 1. Вычислим значенйе . Здесь под мы понимаем отвлеченное иррациональное число. Согласно определению . Итак, .

Пример 2. Вычислим значение . Здесь под 1,5 мы понимаем отвлеченное число. Согласно определению (см. приложение II).

Пример 3. Вычислим значение Аналогично предыдущему получаем (см. приложение II).

Итак, в дальнейшем под аргументом тригонометрических функций мы будем понимать угол (дугу) или просто число в зависимости от той задачи, которую решаем. А в ряде случаев аргументом может служить величина, имеющая и другую размерность, например время и т. д. Называя аргумент углом (дугой), мы можем подразумевать под ним число, с помощью которого он измерен в радианах.

Видеоурок «Тригонометрические функции числового аргумента» представляет наглядный материал для обеспечения наглядности при объяснении темы на уроке. В ходе демонстрации рассматривается принцип формирования значения тригонометрических функций от числа, описывается ряд примеров, обучающих вычислению значений тригонометрических функций от числа. С помощью данного пособия легче сформировать навыки в решении соответствующих задач, добиться запоминания материала. Использование пособия повышает эффективность урока, способствует быстрому достижению целей обучения.

В начале урока демонстрируется название темы. Затем ставится задача нахождения соответствующего косинуса некоторому числовому аргументу. Отмечается, что данная задача решается просто и это можно наглядно продемонстрировать. На экране изображается единичная окружность с центром в начале координат. При этом замечено, что точка пересечения окружности с положительной полуосью оси абсцисс располагается в точке А(1;0). Приводится пример точки М, которая представляет аргумент t=π/3. Данная точка отмечается на единичной окружности, и от нее опускается перпендикуляр к оси абсцисс. Найденная абсцисса точки и является косинусом cos t. В данном случае абсциссой точки будет х=1/2. Поэтому cos t=1/2.

Обобщая рассмотренные факты, отмечается, что имеет смысл говорить о функции s=cos t. Отмечается, что некоторые знания об этой функции уже имеются у учеников. Вычислены некоторые значения косинуса cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. Также связанными к данной функцией являются функции s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Отмечается, что они имеют общее для всех название - тригонометрические функции.

Демонстрируются важные соотношения, которые используются в решении задач с тригонометрическими функциями: основное тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, выражение тангенса и котангенса через синус и косинус tg t=sin t/cos t, где t≠π/2+πk для kϵZ, ctg t= cos t/sin t, где t≠πk для kϵZ, а также соотношение тангенса к котангенсу tg t·ctg t=1 где t≠πk/2 для kϵZ.

Далее предлагается рассмотреть доказательство соотношения 1+ tg 2 t=1/ cos 2 t, при t≠π/2+πk для kϵZ. Чтобы доказать тождество, необходимо представить tg 2 t в виде соотношения синуса и косинуса, а после слагаемые в левой части привести к общему знаменателю 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t)/ cos 2 t. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем в числителе 1, то есть конечное выражение 1/ cos 2 t. Что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается тождество 1+ ctg 2 t=1/ sin 2 t, при t≠πk для kϵZ. Так же, как и в предыдущем доказательстве, котангенс заменяется соответствующим соотношением косинуса и синуса, и оба слагаемых в левой части приводятся к общему знаменателю 1+ ctg 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= (sin 2 t+cos 2 t)/sin 2 t. После применения основного тригонометрического тождества к числителю получаем 1/ sin 2 t. Это и есть искомое выражение.

Рассматривается решение примеров, в котором применяются полученные знания. В первом задании необходимо найти значения cost, tgt, ctgt, если известен синус числа sint=4/5, а t принадлежит промежутку π/2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Далее рассматривается решение аналогичной задачи, в которой известен тангенс tgt=-8/15, а аргумент ограничен значениями 3π/2

Чтобы найти значение синуса, используем определение тангенса tgt= sint/cost. Из него находим sint= tgt·cost=(-8/15)·(15/17)=-8/17. Зная, что котангенс - функция, обратная тангенсу, находим ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

Видеоурок «Тригонометрические функции числового аргумента» применяется для повышения эффективности урока математики в школе. В ходе дистанционного обучения данный материал может использоваться как наглядное пособие для формирования навыков решения задач, где есть тригонометрические функции от числа. Для приобретения этих навыков ученику может рекомендовано самостоятельное рассмотрение наглядного материала.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Тема урока «Тригонометрические функции числового аргумента».

Любому действительному числу t можно поставить в соответствие однозначно определенное число cos t. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1) на координатной плоскости расположить числовую окружность так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1;0);

2) на окружности найти точку, которая соответствует числу t;

3) найти абсциссу этой точки. Это и есть cos t.

Поэтому речь пойдет о функции s= cos t (эс равно косинус тэ), где t - любое действительное число. Некоторое представление о этой функции мы уже получили:

• научились вычислять некоторые значения, например cos 0=1, cos = 0, cos = и т.д.(косинус нуля равен единице, косинус пи на два равен нулю, косинус пи на три равен одной второй и так далее).
• а так как значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса взаимосвязаны, то получили некоторое представление еще о трех функциях: s= sint; s= tgt; s= ctgt. (эс равно синус тэ, эс равно тангенс тэ, эс равно котангенс тэ)

Все эти функции называются тригонометрическими функциями числового аргумента t.

Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса следуют некоторые соотношения:

1)sin 2 t + cos 2 t = 1(синус квадрат тэ плюс косинус квадрат тэ равно одному)

2)tgt = при t ≠ + πk, kϵZ(тангенс тэ равно отношению синуса тэ к косинусу тэ при тэ не равном пи на два плюс пи ка, ка принадлежит зэт)

3)ctgt = при t ≠ πk, kϵZ(котангенс тэ равно отношению косинуса тэ к синусу тэ при тэ не равном пи ка, ка принадлежит зэт).

4)tgt ∙ ctgt = 1 при t ≠ , kϵZ (произведение тангенса тэ на котангенс тэ равно одному при тэ не равном пи ка, деленное на два, ка принадлежит зэт)

Докажем еще две важные формулы:

Один плюс тангенс квадрат тэ равно отношению единицы к косинусу квадрату тэ при тэ не равном пи на два плюс пи ка.

Доказательство. Выражение единица плюс тангенс квадрат тэ, приведем к общему знаменателю косинус квадрат тэ. Получим в числителе сумму квадратов косинуса тэ и синуса тэ, что равно одному. А знаменатель остается квадрат косинуса тэ.

Сумма единицы и квадрата котангенса тэ равна отношению единицы к квадрату синуса тэ при тэ не равном пи ка.

Доказательство. Выражение единица плюс котангенс квадрат тэ, аналогично приведем к общему знаменателю и применим первое соотношение.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР1. Найти cost, tgt, ctgt , если sint = и < t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Решение. Из первого соотношения найдем косинус квадрат тэ равен единица минус синус квадрат тэ: cos 2 t = 1 - sin 2 t.

Значит, cos 2 t = 1 -() 2 = (косинус квадрат тэ равен девяти двадцать пятым), то есть cost= (косинус тэ равен трем пятым) или cost = - (косинус тэ равен минус трем пятым). По условию аргумент t принадлежит второй четверти, а в ней cos t < 0 (косинус тэ отрицательный).

Значит косину тэ равен минус трем пятым, cost = - .

Вычислим тангенс тэ:

tgt = = ׃ (-)= - ;(тангенс тэ равен отношению синуса тэ к косинусу тэ, а значит, четырех пятых к минус трем пятым и равно минус четырем третьим)

Соответственно вычисляем (котангенс числа тэ. так как котангенс тэ равен отношению косинуса тэ к синусу тэ,) ctgt = = - .

(котангенс тэ равен минус трем четвертым).

Ответ: cost = - , tgt= - ; ctgt = - . (ответ заполняем по мере решения)

ПРИМЕР 2. Известно, что tgt = - и < t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Решение. Воспользуемся данным соотношением, подставив значение в эту формулу получим:

1 + (-) 2 = (единица на косинус квадрат тэ равно сумме единицы и квадрата минус восьми пятнадцатых). Отсюда находим cos 2 t =

(косинус квадрат тэ равен двести двадцать пять двести восемьдесят девятых). Значит, cost = (косинус тэ равен пятнадцать семнадцатых) или

cost = . По условию аргумент t принадлежит четвертой четверти, где cost>0. Поэтому cost = .(косенус тэ равен пятнадцать семнадцатых)

Найдем значение аргумента синус тэ. Так как из соотношения (показать соотношение tgt = при t ≠ + πk, kϵZ) синус тэ равен произведению тангенса тэ на косинус тэ, то подставив значение аргумента тэ..тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых.. по условию, а косинус тэ равен из решенного ранее, получаем

sint = tgt ∙ cost = (-) ∙ = - , (синус тэ равен минус восемь семнадцатых)

ctgt = = - . (так как котангенс тэ, есть величина обратная тангенсу, значит, котангенс тэ равен минус пятнадцать восемнадцатых)

Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций.

Тригонометрические функции числового аргумента

Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin(t) . Правда, правило соответствия довольно сложное и заключается в следующем.

Чтобы по числу t найти значение sin(t) , нужно:

1. расположить числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);
2. на окружности найти точку, соответствующую числу t ;
3. найти ординату этой точки.
4. эта ордината и есть искомое sin(t) .

Фактически речь идет о функции s = sin(t) , где t - любое действительное число. Мы умеем вычислять некоторые значения этой функции (например, sin(0) = 0 , \(sin \frac {\pi}{6} = \frac{1}{2} \) и т.д.), знаем некоторые ее свойства.

Точно так же мы можем считать, что уже получили некоторые представления еще о трех функциях: s = cos(t) s = tg(t) s = ctg(t) Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t .

Связь тригонометрических функций

Как вы, надеюсь, догадываетесь все тригонометрические функции связаны между собой и даже не зная значение одной, ее можно найти через другое.

К примеру, самая главная формула, из всей тригонометрии - это основное тригонометрическое тождество :

\[ sin^{2} t + cos^{2} t = 1 \]

Как видите, зная значение синуса можно найти значение косинуса, и также наоборот. Также очень распространенные формулы, связывающие синус и косинус с тангенсом и котангенсом:

\[ \boxed {\tan\; t=\frac{\sin\; t}{\cos\; t}, \qquad t \neq \frac{\pi}{2}+ \pi k} \]

\[ \boxed {\cot\; t=\frac{\cos\; }{\sin\; }, \qquad t \neq \pi k} \]

Из двух последних формул можно вывести еще одно тригометрическое тождество, связывающее на этот раз тангенс и котангенс:

\[ \boxed {\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac{\pi k}{2}} \]

Теперь давайте посмотрим, как эти формулы действуют на практике.

ПРИМЕР 1. Упростить выражение: а) \(1+ \tan^2 \; t \), б) \(1+ \cot^2 \; t \)

а) В первую очередь распишем тангенс, сохраняя квадрат:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \]

\[ 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \]

Теперь введем все под общий знаменатель, и получаем:

\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} = \frac{\cos^2 \; t + \sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \]

Ну и наконец, как мы видим числитель можно по основному тригонометрическому тождеству сократить до единицы, в итоге получаем: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t} \]

б) С котангенсом выполняем все те же самые действия, только в знаменателе будет уже не косинус, а синус и ответ получится таким:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t} \]

Выполнив данное задание мы вывели еще две очень важные формулы, связывающие наши функции, которые тоже нужно знать, как свои пять пальцев:

\[ \boxed {1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t}, \qquad t \neq \frac{\pi}{2}+ \pi k} \]

\[ \boxed {1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t}, \qquad t \neq \pi k} \]

Все представленные в рамках формулы вы должны знать наизусть, иначе дальнейшее изучение тригонометрии без них просто невозможно. В дальнейшем будут еще формулы и их будет очень много и уверяю все их вы точно будете запоминать долго, а может и не запомните, но эти шесть штук должны знать ВСЕ!

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!