6− ρ 2

V = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ z

6 ρ − ρ 2 d ρ =

2 d ϕ =

4 ∫ 2 (3 ρ 2 −

∫ 2 d ϕ =

32π

Если не учитывать симметрию, то

6− ρ 2

32π

V = ∫

dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz =

n− 1

σ n = ∑ f (x i , y i ) ∆ l i ,

для функции f (x , y ) по кривой L . Обозначим наибольшую из длин

частичных дуг M i M i + 1 , i =

0 ,n − 1 черезλ , то есть λ = max ∆ l i .

0 ≤i ≤n −1

Если существует конечный предел I интегральной суммы (3.1)

стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дугM i M i + 1 ,

зависящий ни от способа разбиения кривой L на частичные дуги, ни от

Таким образом, по определению

n− 1

I = lim ∑ f (xi , yi ) ∆ li = ∫ f (x, y) dl.

λ → 0 i = 0

Действительно, из определения криволинейного интеграла следует,

dl = lim n − 1

∆l

Lim l = l .

λ → 0 ∑

λ→ 0

i = 0

3.2. Основные свойства криволинейного интеграла первого типа

аналогичны свойствам определенного интеграла:

1 о . ∫ [ f1 (x, y) ± f2 (x, y) ] dl = ∫ f1 (x, y) dl ± ∫ f2 (x, y) dl.

2 о . ∫ cf (x , y ) dl = c ∫ f (x , y ) dl , где с - константа.

и L , не

3 о . Если контур интегрирования L разбит на две части L

f (x, y) dl = ∫ f (x, y) dl .

3.3. Вычисление криволинейного интеграла первого типа

сводится к вычислению определенных интегралов.

x= x(t)

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

y= y(t)

Пустьα и β – значения параметра t , соответствующие началу (точка А ) и

концу (точка В )

[α , β ]

x (t ), y (t ) и

производные

x (t), y (t)

Непрерывны,

f (x , y ) -

непрерывна вдоль кривой L . Из курса дифференциального исчисления

функций одной переменной известно, что

dl = (x (t))

+ (y (t ))

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(t), y(t))

(x (t )

+ (y (t ))

∫ x2 dl,

Пример 3.1.

Вычислить

окружности

x= a cos t

0 ≤ t ≤

y= a sin t

Решение. Так как x (t ) = − a sin t , y (t ) = a cos t , то

dl =

(− a sin t) 2 + (a cos t) 2 dt = a2 sin 2 t + cos 2 tdt = adt

и по формуле (3.4) получаем

Cos 2t )dt =

sin 2t

∫ x2 dl = ∫ a2 cos 2 t adt = a

3 ∫

πa 3

sin π

L задана

уравнением

y = y(x) ,

a ≤ x ≤ b

y(x)

непрерывна вместе со своей производной y

(x ) при a ≤ x ≤ b , то

dl =

1+ (y (x ))

и формула (3.4) принимает вид

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x, y(x))

(y (x ))

L задана

x = x(y), c ≤ y ≤ d

x (y )

уравнением

непрерывна вместе со своей производной x (y ) при c ≤ y ≤ d , то

dl =

1+ (x (y ))

и формула (3.4) принимает вид

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(y), y)

1 + (x (y ))

Пример 3.2. Вычислить ∫ ydl, где L – дуга параболы

2 x от

точки А (0,0) до точки В (2,2).

Решение . Вычислим интеграл двумя способами, применяя

формулы (3.5) и(3.6)

1)Воспользуемся формулой (3.5). Так как

2x (y ≥ 0), y ′

2 x =

2 x ,

dl =

1+ 2 x dx ,

3 / 2 2

1 (5

3 2 − 1) .

∫ ydl = ∫

2 x + 1 dx = ∫ (2 x + 1) 1/ 2 dx =

1 (2x + 1)

2)Воспользуемся формулой (3.6). Так как

x = 2 , x

Y, dl

1 + y

y 1 + y 2 dy =

(1 + y

/ 2 2

∫ ydl = ∫

3 / 2

dl =

(x (t ))

(y (t ))

(z (t ))

∫ f (x, y, z) dl =

= ∫

dt .

f (x (t ), y (t ), z (t )) (x (t ))

(y (t ))

(z (t ))

x= t cos t

0 ≤ t ≤ 2 π.

y = t sin t

z = t

x′ = cost − t sint, y′ = sint + t cost, z′ = 1 ,

dl =

(cos t − t sin t)2 + (sin t + t cos t)2 + 1 dt =

∫ (2z −

x2 + y2 ) dl = ∫ (2 t −

t 2 cos 2 t + t 2 sin 2 t )

2 + t 2 dt =

T 2 )

= ∫

t 2 + t

dt =

4 π

− 2 2

цилиндрической

поверхности,

которая составлена из перпендикуляров к

плоскости xOy ,

восстановленных в точках

(x , y )

L = AB

и имеющих

1+ t

dt ,

x (t) = 1, y (t) = t , dl =

3/ 2 1

1 (1+ t

m = ∫ 2 ydl = ∫

1 2 + t2 dt = ∫ t 1 + t2 dt =

(2 3 / 2 −

1) =

2 2 − 1.

3.4. Определение криволинейного интеграла второго типа (по

координатам ). Пусть функция

f (x , y ) определена вдоль плоской

кусочно-гладкой кривойL , концами которой будут точки А и В . Опять

произвольным

разобьем

кривую L

M 0 = A , M 1 ,... M n = B Так же выберем в пределах

каждой частичной

дуги M i M i + 1

произвольную точку

(xi , yi )

и вычислим

Криволинейный интеграл 2-ого рода вычисляется так же, как криволинейный интеграл 1-ого рода сведением к определённому. Для этого все переменные под знаком интеграла выражают через одну переменную, используя уравнение той линии, вдоль которой производится интегрирование.

а) Если линия АВ задана системой уравнений то

(10.3)

Для плоского случая, когда кривая задана уравнением криволинейный интеграл вычисляется по формуле: . (10.4)

Если линия АВ задана параметрическими уравнениями то

(10.5)

Для плоского случая, еслилиния АВ задана параметрическими уравнениями , криволинейный интеграл вычисляется по формуле:

, (10.6)

где - значения параметра t, соответствующие начальной и конечной точкам пути интегрирования.

Если линия АВ кусочно-гладкая, то следует воспользоваться свойством аддитивности криволинейного интеграла, разбив АВ на гладкие дуги.

Пример 10.1 Вычислим криволинейный интеграл вдоль контура, состоящего из части кривой от точки до и дуги эллипса от точки до .

. После вычисления получим .

Для вычисления интеграла по контуру ВС перейдём к параметрической форме записи уравнения эллипса и воспользуемся формулой (10.6).

Обратите внимание на пределы интегрирования. Точке соответствует значение , а точке соответствует Ответ:
.

Пример 10.2. Вычислим вдоль отрезка прямой АВ , где А(1,2,3), В(2,5,8).

Решение . Задан криволинейный интеграл 2-ого рода. Для вычисления необходимо преобразовать его в определённый. Составим уравнения прямой. Её направляющий вектор имеет координаты .

Канонические уравнения прямой АВ: .

Параметрические уравнения этой прямой: ,

При
.

Воспользуемся формулой (10.5) :

Вычислив интеграл, получим ответ: .

5. Работа силы при перемещении материальной точки единичной массы из точки в точку вдоль кривой .

Пусть в каждой точке кусочно –гладкой кривой задан вектор, имеющий непрерывные функции-координаты: . Разобьём эту кривую на малых частей точками так, чтобы в точках каждой части значение функций
можно было считать постоянными, а сама часть могла быть принята за отрезок прямой (см. рис. 10.1). Тогда . Скалярное произведение постоянной силы, роль которой играет вектор , на прямолинейный вектор перемещения численно равно работе, которую совершает сила при перемещении материальной точки вдоль . Составим интегральную сумму . В пределе при неограниченном увеличении числа разбиений получим криволинейный интеграл 2-ого рода

. (10.7) Таким образом, физический смысл криволинейного интеграла 2-ого рода - это работа, произведённая силой при перемещении материальной точки от А к В по контуру L .

Пример 10.3. Вычислим работу, производимую вектором при перемещении точки вдоль части кривой Вивиани, заданной как пересечение полусферы и цилиндра , пробегаемой против часовой стрелки, если смотреть с положительной части оси OX.

Решение . Построим заданную кривую как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 10.3).

Чтобы свести подынтегральное выражение к одной переменной, перейдём в цилиндрическую систему координат: .

Т.к. точка перемещается по кривой , то удобно в качестве параметра выбрать переменную , которая вдоль контура меняется так, что . Тогда получаем следующие параметрические уравнения этой кривой:

.При этом
.

Подставим полученные выражения в формулу для вычисления циркуляции:

( - знак + указывает на то, что движение точки по контуру происходит против часовой стрелки)

Вычислим интеграл и получим ответ: .

Занятие 11 .

Формула Грина для односвязной области. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. Нахождение функции по ее полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла (плоский и пространственный случаи).

ОЛ-1 гл.5, ОЛ-2 гл.3, ОЛ-4 гл.3 § 10, п. 10.3, 10.4.

Практика : ОЛ-6№№ 2318(а,б,д),2319(а,в),2322(а,г),2327,2329 илиОЛ-5 №№10.79, 82, 133, 135, 139.

Домашнее здание к занятию 11 : ОЛ-6 №№ 2318 (в,г), 2319(в,г), 2322(б,в), 2328, 2330 или ОЛ-5 №№ 10.80, 134, 136, 140

Формула Грина.

Пусть на плоскости дана односвязная область , ограниченная кусочно- гладким замкнутым контуром . (Область называется односвязной, если в ней любой замкнутый контур может быть стянут в точку этой области).

Теорема . Если функции и их частные производные Г , то

- формула Грина . (11.1)

Обозначает положительное направление обхода (против часовой стрелки).

Пример 11.1. Используя формулу Грина, вычислим интеграл по контуру, состоящему из отрезков OA, OB и большей дуги окружности , соединяющей точки A и B, если , , .

Решение . Построим контур (см. рис.11.2). Вычислим необходимые производные.

После подстановки вычисленных производных получаем

. Двойной интеграл вычислим, переходя к полярным координатам:
.

Проверим ответ, вычислив интеграл непосредственно по контуру как криволинейный интеграл 2-ого рода.
.

Ответ :
.

2. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования .

Пусть и - произвольные точки односвязной области пл. . Криволинейные интегралы, вычисленные по различным кривым, соединяющим эти точки, в общем случае имеют различные значения. Но при выполнении некоторых условий все эти значения могут оказаться одинаковыми. Тогда интеграл не зависит от формы пути, а зависит только от начальной и конечной точек.

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 1 . Для того, чтобы интеграл
не зависел от формы пути, соединяющего точки и , необходимо и достаточно, чтобы этот интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю.

Теорема 2. . Для того, чтобы интеграл
по любому замкнутому контуру был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы функции и их частные производные были непрерывны в замкнутой области Г и чтобы выполнялось условие (11.2)

Таким образом, если выполняются условия независимости интеграла от формы пути (11.2) , то достаточно указать только начальную и конечную точки: (11.3)

Теорема 3. Если в односвязной областивыполняется условие , то существует функция такая, что . (11.4)

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница для криволинейного интеграла.

Замечание. Напомним, что равенство является необходимым и достаточным условием того, что выражение
.

Тогда из выше сформулированных теорем следует, что если функции и их частные производные непрерывны в замкнутой области Г , в которой даны точки и , и , то

а) существует функция , такая, что ,

не зависит от формы пути, ,

в) имеет место формула Ньютона – Лейбница .

Пример 11.2 . Убедимся в том, что интеграл
не зависит от формы пути, и вычислим его.

Решение. .

простым путём для вычислений является ломаная линия АСВ , соединяющая точки начала и конца пути. (См. рис. 11.3)

Тогда .

3. Нахождение функции по её полному дифференциалу .

С помощью криволинейного интеграла, который не зависит от формы пути, можно найти функцию , зная её полный дифференциал. Эта задача решается следующим образом.

Если функции и их частные производные непрерывны в замкнутой области Г и , то выражение является полным дифференциалом некоторой функции . Кроме этого интеграл
, во-первых, не зависит от формы пути и, во-вторых, может быть вычислен по формуле Ньютона – Лейбница.

Вычислим
двумя способами.

Уравнение .

Уравнение .

Получаем: Вычислив оба интеграла, получаем в ответе некоторую функцию .

б) Теперь тот же интеграл вычислим по формуле Ньютона – Лейбница.

Теперь сравним два результата вычисления одного и того же интеграла. Функциональная часть ответа в пункте а) является искомой функцией , а числовая часть – её значением в точке .

Пример 11.3. Убедимся в том, что выражение
является полным дифференциалом некоторой функции и найдём её. Проверим результаты вычисления примера 11.2 по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение. Условие существования функции (11.2) было проверено в предыдущем примере. Найдём эту функцию, для чего воспользуемся рисунком 11.4, причём примем за точку . Составим и вычислим интеграл по ломаной АСВ, где :

Как было сказано выше, функциональная часть полученного выражения и есть искомая функция
.

Проверим результат вычислений из примера 11.2 по формуле Ньютона –Лейбница:

Результаты совпали.

Замечание. Все рассмотренные утверждения верны и для пространственного случая, но с большим количеством условий.

Пусть кусочно-гладкая кривая принадлежит области в пространстве . Тогда, если функции и их частные производные непрерывны в замкнутой области , в которой даны точки и , и
(11.5 ), то

а) выражение является полным дифференциалом некоторой функции ,

б) криволинейный интеграл от полного дифференциала некоторой функции не зависит от формы пути и ,

в) имеет место формула Ньютона – Лейбница .(11.6 )

Пример 11.4 . Убедимся в том, что выражение является полным дифференциалом некоторой функции и найдём её.

Решение. Для ответа на вопрос о том, является ли данное выражение полным дифференциалом некоторой функции , вычислим частные производные от функций , ,
. (См. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

Эти функции непрерывны вместе со своими частными производными в любой точке пространства .

Видим, что выполняются необходимые и достаточные условия существования : , , , ч. т. д.

Для вычисления функции воспользуемся тем, что линейный интеграл не зависит от пути интегрирования и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница. Пусть точка - начало пути, а некоторая точка - конец пути. Вычислим интеграл

по контуру, состоящему из отрезков прямых, параллельных координатным осям. (см.рис.11.5).

.

Тогда

, x здесь зафиксирован, поэтому ,

, здесь зафиксирован y , поэтому .

В итоге получаем: .

Теперь тот же интеграл вычислим по формуле Ньютона-Лейбница.

Приравняем результаты: .

Из полученного равенства следует, что , а

Занятие 12.

Поверхностный интеграл первого рода: определение, основные свойства. Правила вычисления поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла. Приложения поверхностного интеграла первого рода: площадь поверхности, масса материальной поверхности, статические моменты относительно координатных плоскостей, моменты инерции и координаты центра тяжести . ОЛ-1 гл.6, ОЛ 2 гл.3, ОЛ-4§ 11.

Практика : ОЛ-6 №№ 2347, 2352, 2353 или ОЛ-5 №№ 10.62, 65, 67.

Домашнее задание к занятию 12:

ОЛ-6 №№ 2348, 2354 или ОЛ-5 №№ 10.63, 64, 68.

Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода

Определение . Пусть заданы ориентированное непрерывное кусочно-гладкое многообразие σ и на σ – вектор-функция F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)+R(x,y,z). Разобьем многообразие на части многообразиями меньшей размерности (кривую – точками, поверхность –кривыми), внутри каждого полученного элементарного многообразия выберем по точке M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1), ... ,M n (x n ,y n ,z n). Посчитаем значения F(x i ,y i ,z i), i=1,2,...,n вектор-функции в этих точках,умножим скалярно эти значения на ориентированную меру dσ i данного элементарного многообразия (ориентированные длину или площадь соответствующего участка многообразия) и просуммируем. Предел полученных сумм если онсуществует, не зависит от способа разбиения многообразия на части и выбора точек внутри каждого элементарного многообразия, при условии, что диаметр элементарного участка стремится к нулю, называется интегралом по многообразию (криволинейным интегралом, если σ -кривая и поверхностным, если σ - поверхность) второго рода, интеграломвдоль ориентированного многообразия, или интегралом от вектора F вдоль σ, и обозначается в общем случае, в случаях криволинейного и поверхностного интегралов соответственно.
Заметим, что если F(x,y,z) - сила, то - работа этой силы по перемещению материальной точки вдоль кривой, если F(x,y,z) - стационарное (не зависящее от времени) поле скоростей текущей жидкости, то - количество жидкости, протекающей через поверхность S в единицу времени (поток вектора через поверхность).
Если кривая задана параметрически или, что то же самое, в векторной форме,

то

и для криволинейного интеграла второго рода имеем

Так как dS = n · dS =(cosα , cosβ , cosγ), где cosα , cosβ , cosγ - направляющие косинусы единичного вектора нормали n и cosαdS=dydz , cosβdS=dxdz , cosγdS=dxdy , то для поверхностного интеграла второго рода получаем

Если поверхность задана параметрически или, что тоже самое, в векторной форме
r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k, (u,v)∈D
то

где - якобианы (определители матриц Якоби, или, что то же самое, матриц производных) вектор-функций соответственно.

Если поверхность S может быть задана одновременно уравнениями то поверхностный интеграл второго рода вычисляется по формуле

где D 1 , D 2 , D 3 - проекции поверхности S на координатные плоскости Y0Z , X0Z , X0Y соответственно и знак “+” берётся, если угол между вектором нормали и осью, вдоль которой ведётся проектирование, острый, а знак “–“, если этот угол тупой.

Свойства криволинейного и поверхностного интегралов второго рода

Теорема 2 . Пусть σ=σ 1 ∪σ 2 и размерность пересечения dlim(σ 1 ∩σ 2)=n-1 . Тогда

Доказательство. Включив в число многообразий разбиения в определении интеграла по многообразию второго рода общую границу σ 1 с σ 2 получаем требуемое.

Пример №1 . Найти работу силы F при перемещении вдоль дуги линии L от точки M 0 до точки M 1 .
F=x 2 yi+yj; , L: отрезок M 0 M 1
M 0 (-1;3), M 0 (0;1)
Решение .
Находим уравнение прямой вдоль отрезка M 0 M 1 .
или y=-2x+1
dy=-2dx

Пределы изменения x: [-1; 0]

Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование - замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и обозначается следующим образом:

Область, ограниченную контуром L обозначим D . Если функции P (x , y ) , Q (x , y ) и их частные производные и - функции, непрерывные в области D , то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина:

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к вычислению двойного интеграла по области D .

Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

,

если L - контур треугольника OAB , где О (0; 0) , A (1; 2) и B (1; 0) . Направление обхода контура - против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина.

а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона OB находится на оси Ox , поэтому её уравнением будет y = 0 . Поэтому dy = 0 и можем вычислить криволинейный интеграл по стороне OB :

Уравнением стороны BA будет x = 1 . Поэтому dx = 0 . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне BA :

Уравнение стороны AO составим, пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:

.

Таким образом, dy = 2dx . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне AO :

Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника:

.

б) Применим формулу Грина. Так как , , то . У нас есть всё для того, чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:

Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее.

Пример 2.

,

где L - контур OAB , OB - дуга параболы y = x ² , от точки О (0; 0) до точки A (1; 1) , AB и BO - отрезки прямых, B (0; 1) .

Решение. Так как функции , , а их частные производные , , D - область, ограниченная контуром L , у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру:

Пример 3. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл

, если L - контур, который образуют линия y = 2 − |x | и ось Oy .

Решение. Линия y = 2 − |x | состоит из двух лучей: y = 2 − x , если x ≥ 0 и y = 2 + x , если x < 0 .

Имеем функции , и их частные производные и . Подставляем всё в формулу Грина и получаем результат.

• Книга по ботанике
• Учебная литература
• Жизненные ресурсы
• Биология-репетитор
• Зоология

rosinka173.ru - Информационная поддержка школьников и студентов

Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС 77 - 57771 от 18.04.2014.
Copyright © 2006-2017. Все материалы сайта защищены авторским правом
Средство массовой информации "БизнесГарант" зарегистрировано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций