Предел производной. Производная. Что такое производная? Определение производной. Геометрический смысл производной и дифференциала
Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на свет таблицы производных и правил дифференцирования . Начало положено в статье о смысле производной , которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того,
рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную? и Производная сложной функции.
Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это без пределов функций . Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, что производная
функции в точке определяется формулой:
Напоминаю обозначения и термины: называют приращением аргумента ;
– приращением функции;
– это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).
Очевидно, что является «динамической» переменной, – константой и результат вычисления предела 
– числом (иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью)
.
В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение , принадлежащее области определения функции , в котором существует производная.
Примечание : оговорка «в котором существует производная» – в общем случае существенна ! Так, например, точка хоть и входит в область определения функции , но производной
Там не существует. Поэтому формула
Не применима в точке ,
и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса.
Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу:
Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела
является производная функция .
Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:
– Найти производную в точке , используя определение производной.
– Найти производную функцию , используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.
Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность) , а во втором –
функцию . Кроме того, производной может и вовсе не существовать.
Как ?
Составить отношение и вычислить предел .
Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу
Кажется волшебством, но в
действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:
По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .
Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.
Рассмотрим некоторую (конкретную) точку , принадлежащую области определения функции , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о -я) и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим предел:
Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим
числитель и знаменатель на сопряженное выражение 
:
Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций .
Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку интервала
То, осуществив замену , получаем:
В который раз порадуемся логарифмам:
Найти производную функции , пользуясь определением производной
Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от
подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву .
Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.
Тогда соответствующее приращение функции:
Найдём производную:
Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может
возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».
Устранение неопределённости закомментирую пошагово:
(1)
Используем свойство логарифма
.
(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.
(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы
воспользоваться замечательным пределом 
, при этом в качестве бесконечно малой величины
выступает .
Ответ : по определению производной:
Или сокращённо:
Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:
Найти производную по определению
В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).
Найти производную по определению
А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.
Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1- м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены
формулой .
Переходим к реально встречающимся заданиям: Пример 5
Найти производную функции 
, используя определение производной
Решение : используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:
Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку (число) и находим в ней значение функции: 
, то есть в функцию
вместо
«икса» следует подставить . Теперь берём
Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.
Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:
Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:
В итоге: 
Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём замену и получим 
.
Ответ
: 
по определению.
В целях проверки найдём производную с помощью правил
дифференцирования и таблицы:
Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.
Найти производную функции по определению производной
Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:
Вернёмся к стилю №2: Пример 7
Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции :
Решение : рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение аргумента и составим приращение
Найдём производную:
(1) Используем тригонометрическую формулу
(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.
(3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.
(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом
указываем, что слагаемое .
(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.
Ответ : по определению Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в
сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».
Пользуясь определением, найти производную функции
Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.
Разберём более редкую версию задачи:
Найти производную функции в точке , пользуясь определением производной.
Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число Вычислим ответ стандартным способом:
Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле вместо
рассматривается конкретное значение.
Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим производную в точке:
Используем весьма редкую формулу разности тангенсов 
и в который раз сведём решение к первому
замечательному пределу:
Ответ : по определению производной в точке.
Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.
Пример 10
Используя определение, найти производную функции 
в точке
Это пример для самостоятельного решения.
Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:
Будет ли дифференцируема функция 
в точке ?
Решение : очевидно, что кусочно-заданная функция непрерывна в точке , но будет ли она там дифференцируема?
Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:
1) Находим левостороннюю производную в данной точке: .
2) Находим правостороннюю производную в данной точке: .
3) Если односторонние производные конечны и совпадают:
, то функция дифференцируема в точке и
геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной ).
Если получены два разных значения: 
(одно из которых может оказаться и бесконечным)
, то функция не дифференцируема в точке .
Если же обе односторонние производные равны бесконечности
(пусть даже разных знаков), то функция не
дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику (см. Пример 5 урока Уравнение нормали ) .
Примечание : таким образом, между вопросами «Будет ли дифференцируема функция в точке?» и «Существует ли производная в точке?» есть разница!
Всё очень просто!
1) При нахождении левосторонней производной приращение аргумента отрицательно: , а слева от точки расположена парабола , поэтому приращение функции равно:
И соответствующий левосторонний предел численно равен левосторонней производной в рассматриваемой точке:
2) Справа от точки находится график прямой и приращение аргумента положительно: . Таким образом, приращение функции:
Правосторонний предел и правосторонняя производная в точке:
3) Односторонние производные конечны и различны:
Ответ : функция не дифференцируема в точке .
Ещё легче доказывается книжный случай недифференцируемости модуля 
в точке , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной
.
Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс 
обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.
На этом забавном гибриде и закончим повествование =) Решения и ответы:
Пример 3: Решение : рассмотрим некоторую точку , принадлежащую области определения функции . Зададим в
данной точке приращение и составим соответствующее приращение функции:
Найдём производную в точке :
Так как в качестве можно выбрать любую точку области определения функции , то и
Ответ : по определению производной
Пример 4: Решение : рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение . Тогда соответствующее приращение функции:
Найдём производную:
Используем замечательный предел
Ответ : по определению
Пример 6: Решение : рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:
Ответ
: 
по определению
Пример 10: Решение : Зададим приращение в точке . Тогда приращение функции:
Вычислим производную в точке:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
Ответ : по определению производной в точке
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.
Как найти?
Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования :
- Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)" = C(u)" $$
- Производная суммы /разности функций: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
- Производная произведения двух функций: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
- Производная дроби : $$ \bigg (\frac{u}{v} \bigg)" = \frac{u"v - uv"}{v^2} $$
- Производная сложной функции : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$
Примеры решения
| Пример 1 |
| Найти производную функции $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ |
| Решение |
|
Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Используя правило производной степенной функции $ (x^p)" = px^{p-1} $ имеем: $$ y" = 3x^{3-1} - 2 \cdot 2 x^{2-1} + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Так же было учтено, что производная от константы равна нулю. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$ |
Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:
$f"(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$
Дифференцированием называют операцию нахождения производной.
Таблица производных некоторых элементарных функций
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| $√x$ | ${1}/{2√x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$
Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ({1}/{x})" = 15x^4 + sinx - {1}/{x^2}$
2. Производная произведения
$(f(x) · g(x))"= f"(x) · g(x)+ f(x) · g(x)"$
Найти производную $f(x)=4x·cosx$
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})"={f"(x)·g(x)-f(x)·g(x)"}/{g^2(x)}$
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f"(x)={(5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)"}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))"=f"(g(x))·g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Физический смысл производной
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.
Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ - координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?
1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции
$v(t) = x"(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$
2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:
Геометрический смысл производной
Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.
Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:
Следовательно, можем составить общее равенство:
$f"(x_0) = k = tgα$
На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f"(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f"(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f "(x_0) = 0$, называется экстремумом .
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Касательная к графику возрастает, следовательно, $f"(x_0) = tg α > 0$
Для того, чтобы найти $f"(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.
Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)
$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$
$f"(x_0) = tg ВАС = 0,25$
Ответ: $0,25$
Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:
Если $f"(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Если $f"(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.
В ответ запишите количество данных точек.
План:
1. Производная функции
2. Дифференциал функции
3. Приложение дифференциального исчисления к исследованию функции
Производная функции одной переменной
Пусть функция определена на некотором интервале . Аргументу дадим приращение : , тогда функция получит приращение . Найдем предел этого отношения при Если этот предел существует, то его называют производной функции . Производная функции имеет несколько обозначений: . Иногда в обозначении производной используется индекс , указывающий, по какой переменной взята производная.
Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует):
Определение. Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале.
Определение. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием .
Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: .
Пример. Найти производную функции в произвольной точке .
Решение . Значению даем приращение . Найдем приращение функции в точке : . Составим отношение . Перейдем к пределу: . Таким образом, .
Механический смысл производной . Так как или , т.е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени . В этом заключается механический смысл производной .
Если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной .
Геометрический смысл производной . Рассмотрим график непрерывной кривой , имеющий в точке невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент , где - угол касательной с осью . Для этого проведем через точку и графика секущую (рисунок 1).
Обозначим через - угол между секущей и осью . На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен
При в силу непрерывности функции приращение тоже стремится к нулю; поэтому точка неограниченно приближается по кривой к точке , а секущая , поворачиваясь около точки , переходит в касательную. Угол , т.е. . Следовательно, , поэтому угловой коэффициент касательной равен .
Угловой коэффициент касательной к кривой
Это равенство перепишем в виде: , т.е. производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной .
Если точка касания имеет координаты (рисунок 2), угловой коэффициент касательной равен: .
Уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении имеет вид: .
Тогда уравнение касательной записывается в виде: .
Определение. Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой .
Угловой коэффициент нормали равен: (так как нормаль перпендикулярна касательной).
Уравнение нормали имеет вид: , если .
Подставляя найденные значения и получаем уравнения касательной , т.е. .
Уравнение нормали: или .
Если функция имеет конечную производную в точке, то она дифференцируема в этой точке. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала, то она дифференцируема в этом интервале.
Теорема 6.1 Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Обратная теорема неверна. Непрерывная функция может не иметь производной.
Пример. Функция непрерывна на интервале (рисунок 3).
Решение .
Производная этой функции равна:
В точке - функция не дифференцируема.
Замечание . На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в таблице формул дифференцирования аргумент заменен на промежуточный аргумент .
Таблица производных
Постоянная величина
Степенная функция :
2) , в частности ;
Показательная функция :
3) , в частности ;
Логарифмическая функция :
4) , в частности, ;
Тригонометрические функции :
Обратные тригонометрические функции , , , :
Продифференцировать функцию это значит найти ее производную, то есть вычислить предел: . Однако определение предела в большинстве случаев представляет громоздкую задачу.
Если знать производные основных элементарных функций и знать правила дифференцирования результатов арифметических действий над этими функциями, то можно легко найти производные любых элементарных функций, согласно правил определения производных, хорошо известных из школьного курса.
Пусть функции и - две дифференцируемые в некотором интервале функции.
Теорема 6.2 Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: .
Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
Пример. Найти производную функции .
Решение .
Теорема 6.3 Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: .
Пример. Найти производную функции .
Решение .
Теорема 6.4 Производная частного двух функций , если равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: .
Пример. Найти производную функции .
Решение . .
Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если , , , то
Пусть и, тогда - сложная функция с промежуточным аргументом и независимым аргументом .
Теорема 6.5 Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле . , Найти производную функции , заданную уравнением: .
Решение . Функция задана неявно. Продифференцируем уравнение по , помня, что : . Затем находим: .
Понятие производной
Пусть функция f (x ) определена на некотором промежутке X. Придадим значению аргумента в точке x 0 Х произвольное приращение Δx так, чтобы точка x 0 + Δx также принадлежала X. Тогда соответствующее приращение функции f(x) составит Δу = f (x 0 + Δx ) - f (x 0 ).
Определение 1. Производной функции f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δx 0 (если этот предел существует).
Для обозначения производной функции употребимы символы у" (x 0 ) или f "(x 0 ):
Если в некоторой точке x 0 предел (4.1) бесконечен:
то говорят, что в точке x 0 функция f (x ) имеет бесконечную производную.
Если функция f (x ) имеет производную в каждой точке множества X, то производная f"(x) также является функцией от аргумента х, определенной на X.
Геометрический смысл производной
Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.
Определение 2. Касательной к графику функции у = f (x ) в точке М называется предельное положение секущей MN, когда точка N стремится к точке М по кривой f (x ).
Пусть точка М на кривой f (x ) соответствует значению аргумента x 0 , а точка N - значению аргумента x 0 + Δx (рис. 4.1). Из определения касательной следует, что для ее существования в точке x 0 необходимо, чтобы существовал предел , который равен углу наклона касательной к оси Оx . Из треугольника MNA следует, что
Если производная функции f (x ) в точке x 0 существует, то, согласно (4.1), получаем
Отсюда следует наглядный вывод о том, что производная f "(x 0 ) равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона к положительному направлению оси Ох) касательной кграфику функции у = f (x ) в точке М (x 0 , f (x 0 )). При этомуголнаклона касательной определяется из формулы (4.2):
Физический смысл производной
Предположим, что функция l = f (t ) описывает закон движения материальной точки по прямой как зависимость пути l от времени t. Тогда разность Δl = f(t + Δt) - f(t) - это путь, пройденный за интервал времени Δt , а отношение Δl /Δt - средняя скорость за время Δt . Тогда предел определяет мгновенную скорость точки в момент времени t как производную пути по времени.
В определенном смысле производную функции у = f(x) можно также трактовать как скорость изменения функции: чем больше величина f "(x ), тем больше угол наклона касательной к кривой, тем круче график f (x ) и быстрее растет функция.
Правая и левая производные
По аналогии с понятиями односторонних пределов функции вводятся понятия правой и левой производных функции в точке.
Определение 3. Правой (левой) производной функции у = f(x) в точке x 0 называется правый (левый) предел отношения (4.1) при Δx 0, если этот предел существует.
Для обозначения односторонних производных используется следующая символика:
Если функция f (x ) имеет в точке x 0 производную, то она имеет левую и правую производные в этой точке, которые совпадают.
Приведем пример функции, у которой существуют односторонние производные в точке, не равные друг другу. Это f (x ) = |x |. Действительно, в точке х = 0 имеем f’ + (0) = 1, f" - (0) = -1 (рис. 4.2) и f’ + (0) ≠ f’ - (0), т.е. функция не имеет производной при х = 0.
Операцию нахождения производной функции называют ее дифференцированием; функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой.
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке устанавливает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1. Если функция дифференцируема в точке x 0 , то она и непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно: функция f (x ), непрерывная в точке, может не иметь производную в этой точке. Таким примером является функция у = |x |; она непрерывна в точке x = 0, но не имеет производной в этой точке.
Таким образом, требование дифференцируемости функции является более сильным, чем требование непрерывности, поскольку из первого автоматически вытекает второе.
Уравнение касательной к графику функции в данной точке
Как было указано в разделе 3.9, уравнение прямой, проходящей через точку М (x 0 , у 0 ) с угловым коэффициентом k имеет вид
Пусть задана функция у = f (x ). Тогда посколькуее производная в некоторой точке М (x 0 , у 0 ) является угловым коэффициентом касательной к графику этой функции в точке М, то отсюда следует, что уравнение касательной к графику функции f (x ) в этой точке имеет вид
