Задачи на тему Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Наибольший общий делитель, взаимно простые числа Простые и составные числа
Цели: формировать навык нахождения наибольшего общего делителя; ввести понятие взаимно простых чисел; отрабатывать умение решать задачи на использование НОД чисел; учить анализировать, делать выводы.
II. Устный счет
1. Может ли разложение на простые множители числа 24 753 содержать множитель 5? Почему? (Нет, так как запись данного числа не оканчивается цифрой 0 или 5.)
2. Назовите число, которое делится на все числа без остатка. (Нуль.)
3. Сумма двух целых чисел нечетна. Четно или нечетно их произведение? (Если сумма двух чисел нечетна, то одно число четно, второе нечетно. Так как один из множителей четное число, следовательно, он делится на 2, значит и произведение делится на 2. Тогда и все произведение четно.)
4. В одной семье у каждого из трех братьев есть сестра. Сколько детей в семье? (4 детей: трое мальчиков и одна их сестра.)
III . Индивидуальная работа
Разложите число 210 всеми возможными способами:
а) на 2 множителя; (210 = 21 · 10 = 14 · 15 = 7 · 30 = 70 · 3 = 6 · 35 = 42 · 5 = 105 · 2.)
б) на 3 множителя; (210 = 3 · 7 · 10 = 5 · 3 · 14 = 7 · 5 · 6 = 35 · 2 · 3 = 21 · 2 · 5 = 7 · 2 · 15.)
в) на 4 множителя. (210 = 3 · 7 · 2 · 5.)
IV. Сообщение темы урока
«Числа правят миром». Эти слова принадлежат древнегреческому математику Пифагору, жившему в V в. до н.э.
Сегодня мы познакомимся еще с одной группой чисел, которые называются взаимно простыми.
V. Изучение нового материала
1. Подготовительная работа.
№ 146 стр. 25 (на доске и в тетрадях). (Самостоятельно, в это время один ученик работает на обратной стороне доски.)
Найдите все делители каждого числа.
Подчеркните их общие делители.
Запишите наибольший общий делитель.
Ответ:
Какие числа имеют только один общий делитель? (35 и 88.)
2. Работа над новой темой.
(Самостоятельно, в это время один ученик работает на обратной стороне доски.)
Найдите наибольший общий делитель чисел: 7 и 21; 25 и 9; 8 и 12; 5 и 3; 15 и 40; 7 и 8.
Ответ:
НОД (7; 21) = 7; НОД (25; 9) = 1; НОД (8; 12) = 4;
НОД (5; 3)= 1; НОД (15; 40) = 5; НОД (7; 8) = 1.
У каких пар чисел одинаковый общий делитель? (25 и 9; 5 и 3; 7 и 8 - общий делитель 1.)
Такие числа называются взаимно простыми.
Дайте определение взаимно простых чисел.
Приведите примеры взаимно простых чисел. (35 и 88, 3 и 7; 12 и 35; 16 и 9.)
VI. Историческая минутка
Древние греки придумали замечательный способ, позволяющий искать наибольший общий делитель двух натуральных чисел без разложения на множители. Он носил название «Алгоритма Евклида».
О жизни греческого математика Евклида достоверные данные неизвестны. Ему принадлежит выдающееся научное произведение, называемое «Начала». Оно состоит из 13 книг и излагает основы всей древнегреческой математики.
Именно здесь описывается алгоритм Евклида, который заключается в том, что наибольшим общим делителем двух натуральных чисел является последний, отличный он нуля, остаток при последовательном делении этих чисел. Под последовательным делением подразумевается деление большего числа на меньшее, меньшего числа на первый остаток, первого остатка на второй остаток и т.д., пока деление не закончится без остатка. Положим, требуется найти НОД (455; 312), тогда
455: 312 = 1 (ост. 143), получаем 455 = 312 · 1 + 143.
312: 143 = 2 (ост. 26), 312 = 143 · 2 + 26,
143: 26 = 5 (ост. 13), 143 = 26 · 5 + 13,
26: 13 = 2 (ост. 0), 26 = 13 · 2.
Последний делитель или последний, отличный от нуля остаток 13 и будет искомым НОД (455; 312) = 13.
VII. Физкультминутка
VIII. Работа над задачей
1. № 152 стр. 26 (с подробным комментированием у доски и в тетрадях).
Прочитайте задачу.
О ком говорится в задаче?
О чем говорится в задаче?
Назовите 1-й вопрос задачи.
Как узнать, сколько ребят было на елке? (Найти НОД чисел 123 и 82.)
Прочитайте задание к этой задаче из тетрадей. (Количество апельсинов и яблок должно делиться на одно и то же наибольшее число.)
Как узнать, сколько апельсинов было в каждом подарке? (Все количество апельсинов разделить на количество присутствующих на елке детей.)
Как узнать, сколько яблок было в каждом подарке? (Все количество яблок разделить на количество присутствующих на елке детей.)
Запишите решение задачи в тетрадях на печатной основе.
Решение:
НОД (123; 82) = 41, значит, 41 человек.
123: 41 = 3 (ап.)
82: 41 = 2 (ябл.)
(Ответ: ребят 41, апельсинов 3, яблок 2.)
2. № 164 (2) стр. 27 (после краткого разбора, один ученик - на обратной стороне доски, остальные самостоятельно, потом самопроверка).
Прочитайте задачу.
Чему равна градусная мера развернутого угла?
Если один угол в 4 раза меньше, то что можно сказать про второй угол? (Он в 4 раза больше.)
Запишите это в краткую запись.
Каким способом будете решать задачу? (Алгебраическим.)
Решение:
1) Пусть х - градусная мера угла СОК,
4х - градусная мера угла KOD .
Так как сумма углов СОК и KOD равна 180°, то составим уравнение:
х + 4х = 180
5х = 180
х = 180: 5
х = 36; 36° - градусная мера угла СОК.
2) 36 · 4 = 144° - градусная мера угла KOD .
(Ответ: 36°, 144°.)
Постройте эти углы.
Определите вид углов СОК и KOD . (Угол СОК - острый, угол KOD - тупой.)
Почему?
IX. Закрепление изученного материала
1. № 149 стр. 26 (у доски с подробным комментарием).
Что нужно сделать, чтобы определить, являются ли числа взаимно простыми? (Найти их наибольший общий делитель, если он равен 1, то числа взаимно простые.)
2. № 150 стр. 26 (устно).
Подтвердите свой ответ. (9 и 14; 14 и 15; 14 и 27 - пары взаимно простых чисел, так как их НОД равен 1.)
3. № 151 стр. 26 (один ученик у доски, остальные в тетрадях).
(Ответ:
.)
Кто не согласен?
4. Устно, с подробным объяснением.
Как находят наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел? (Находят так же, как и двух чисел.)
Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 18, 14 и 6; б) 26, 15 и 9; в) 12, 24, 48; г) 30, 50, 70.
Решение:
а) 1. Проверим, делятся ли числа 18 и 14 на 6. Нет.
2. Разложим на простые множители наименьшее число 6 = 2 · 3.
3. Проверим, делятся ли числа 18 и 14 на 3. Нет.
4. Проверим, делятся ли числа 18 и 14 на 2. Да. Следовательно, НОД (18; 14; 6) = 2.
б) НОД (26; 15; 9) = 1.
Что можно сказать об этих числах? (Они взаимно простые.)
в) НОД (12; 24; 48) = 12.
г) НОД (30; 50; 70) = 10.
X. Самостоятельная работа
Взаимопроверка. (На закрывающейся доске записаны ответы.)
Вариант I. № 161 (а, б) стр. 27, № 157 (б - 1 и 3 число) стр. 27.
Вариант II . № 161 (в, г) стр. 27, № 157 (б - 2 и 3 число) стр. 27.
XI. Подведение итогов урока
Какие числа называют взаимно простыми?
Как можно узнать, являются ли данные числа взаимно простыми?
Как найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел?
Домашнее задание
№ 169 (6), 170 (в, г), 171, 174 стр. 28.
Дополнительное задание: При перестановке цифр простого числа 311 опять получится простое число (проверьте это по таблице простых чисел). Найдите все двузначные числа, обладающие таким же свойством. (113, 131; 13, 31; 17, 71; 37, 73; 79, 97.)
Решение задач из задачника Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд за 6 класс по математике на тему:
§ 1. Делимость чисел:
6. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
146 Найдите все общие делители чисел 18 и 60; 72, 96 и 120; 35 и 88.
РЕШЕНИЕ
147 Найдите разложение на простые множители наибольшего общего делителя чисел a и b, если a = 2·2·3·3 и b = 2·3·3·5; a = 5·5·7·7·7 и b = 3·5·7·7.
РЕШЕНИЕ
148 Найдите наибольший общий делитель чисел 12 и 18; 50 и 175; 675 и 825; 7920 и 594; 324, 111 и 432; 320, 640 и 960.
РЕШЕНИЕ
149 Являются ли взаимно простыми числа 35 и 40; 77 и 20; 10, 30, 41; 231 и 280?
РЕШЕНИЕ
150 Являются ли взаимно простыми числа 35 и 40; 77 и 20; 10, 30, 41; 231 и 280?
РЕШЕНИЕ
151 Запишите все правильные дроби со знаменателем 12, у которых числитель и знаменатель взаимно простые числа.
РЕШЕНИЕ
152 Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом подарке?
РЕШЕНИЕ
153 Для поездки за город работникам завода было выделено несколько автобусов, с одинаковым числом мест. 424 человека поехали в лес, а 477 - на озеро. Все места в автобусах были заняты, и ни одного человека не осталось без места. Сколько автобусов было выделено и сколько пассажиров было в каждом из них?
РЕШЕНИЕ
154 Вычислите устно столбиком
РЕШЕНИЕ
155 С помощью рисунка 7 определите, являются ли числа a, b и c простыми.
РЕШЕНИЕ
156 Существует ли куб, ребро которого выражается натуральным числом и у которого сумма длин всех ребер выражается простым числом; площадь поверхности выражается простым числом?
РЕШЕНИЕ
157 Разложите на простые множители числа 875; 2376; 5625; 2025; 3969; 13125.
РЕШЕНИЕ
158 Почему если одно число можно разложить на два простых множителя, а второе - на три, то эти числа не равны?
РЕШЕНИЕ
159 Можно ли найти четыре различных простых числа, чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других?
РЕШЕНИЕ
160 Сколькими способами в девятиместном микроавтобусе могут разместиться 9 пассажиров? Сколькими они способами могут разместиться, если один из них хорошо знающий маршрут сядет рядом с водителем?
РЕШЕНИЕ
161 Найдите значения выражений (3 · 8 · 5-11):(8 · 11); (2 ·2 ·3 ·5 ·7):(2 ·3 ·7); (2 · 3 · 7 ·1 ·3):(3 ·7); (3 ·5 · 11 · 17 · 23):(3 · 11 ·17).
РЕШЕНИЕ
162 Сравните 3/7 и 5/7; 11/13 и 8/13;1 2/3 и 5/3; 2 2/7 и 3 1/5.
РЕШЕНИЕ
163 С помощью транспортира постройте AOB=35° и DEF = 140°.
РЕШЕНИЕ
164 1) Луч ОМ разделил развернутый угол AOB на два: AOM и MOB. Угол АОМ в 3 раза больше MOB. Чему равны углы АОМ и ВОМ. Постройте их. 2) Луч ОК разделил развернутый угол COD на два: СОК и KOD. Угол СОК в 4 раза меньше KOD. Чему равны углы СОК и KOD? Постройте их.
РЕШЕНИЕ
165 1) Рабочие отремонтировали дорогу длиной 820 м за три дня. Во вторник они отремонтировали 2/5 этой дороги, а в среду 2/3 оставшейся части. Сколько метров дороги отремонтировали рабочие в четверг? 2) На ферме содержатся коровы, овцы и козы, всего 3400 животных. Овцы и козы вместе составляют 9/17 всех животных, а козы составляют 2/9 общего числа овец и коз. Сколько на ферме коров, овец и коз?
РЕШЕНИЕ
166 Представьте в виде обыкновенной дроби числа 0,3; 0,13; 0,2 и в виде десятичной дроби 3/8; 4 1/2; 3 7/25
РЕШЕНИЕ
167 Выполните действие, записав каждое число в виде десятичной дроби 1/2 + 2/5; 1 1/4 + 2 3/25
РЕШЕНИЕ
168 Представьте в виде суммы простых слагаемых числа 10, 36, 54, 15, 27 и 49 так, чтобы слагаемых было возможно меньше. Какие предложения о представлении чисел в виде суммы простых слагаемых вы можете высказать?
РЕШЕНИЕ
169 Найдите наибольший общий делитель чисел a и b, если a = 3·3·5·5·5·7, b = 3·5·5·11; a = 2·2·2·3·5·7, b = 3·11·13 .
городского округа Тольятти
«Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.
Учитель Костина Т.К.
г. о. Тольятти
Тема урока: «Наибольший общий делитель.
Взаимно простые числа»
Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «Делители и кратные», «Признаки делимости на 10, 5, 2, 3, 9», « Простые и составные числа», «Разложение на простые множители»»
Цели урока :
Образовательная: изучить понятия НОД и взаимно простых чисел; научить учащихся находить НОД чисел; создать условия для выработки умения обобщать изученный материал, анализировать, сопоставлять и делать выводы.
Воспитательная: формирование навыков самоконтроля; воспитание чувства ответственности.
Развивающая: развитие памяти, воображения, мышления, внимания, сообразительности.
Ход урока
Минутки логических задачУстная работа.
1. Бабушка и дедушка принесли из сада для двух своих внуков по нечетному числу абрикос. Можно ли эти абрикосы разделить поровну между внуками? [можно]
2. От одного села до другого 3 км. Из этих сел навстречу друг другу с одной и той же скоростью вышли два человека. Встреча произошла через полчаса. Найдите скорость каждого.
3.Турист прошел 2/5 всего пути. После этого ему осталось пройти на 4 км больше, чем он прошел. Найдите весь путь.
4. Число яиц в корзине меньше 40. Если их сосчитать парами, то останется 1 яйцо. Если же сосчитать их тройками, то все равно останется по одному яйцу. Сколько яиц в корзине? (31)
2. Повторение.
По таблице повторяем определение делителя, кратного, признаки делимости, определение простых и составных чисел. На экране слайды с изображением животных, карта Самарской области, фотографии ВАЗа.
3. Изучение нового материала в форме беседы.
Назовите делители числа 18, 21, 24.
Площадь ВАЗа 500 га. На какие простые множители можно разложить это число? 500=2*5*2*5*5=2 2 *5 3
Назовите общие делители чисел 120 и 80.
Масса медведя 525 кг. Масса слона 5025 кг. Назовите несколько общих делителей
Бобер весит 24 кг, а его длина 97 см. Какие эти числа простые или сложные? Назовите их общие делители.
56640 т кислорода расходует 1 пассажирский самолет за 9 часов работы. Такое количество кислорода выделяется при фотосинтезе 35000 га леса. Назовите несколько делителей этого числа.
Какие из этих чисел простые, а какие составные? 111, 313, 323, 437, 549, 677, 781, 891?
Какое из чисел делится на все числа без остатка?
Какое число является делителем любого натурального числа?
Делится ли выражение 34*28+85*20 на 17?
Делится ли выражение 4132*7008 на 3?
Чему равно частное (3*5*2*7*13)/(5*2*13)=?
Чему равно произведение (2*5*5*5*3)*(2*2*2*2*3)?
Назовите несколько простых чисел.
Чем дальше мы идем по натуральному ряду чисел, тем труднее находить простые числа. Представим себе, что мы летим на самолете, который летит вдоль натурального ряда. Кругом темно и только простые числа обозначены огоньками. В начале пути огоньков много, а затем все реже и реже.
Древнегреческий ученый Евклид 2300 лет назад доказал, что простых чисел бесконечно много и что наибольшего простого числа не существует.
Проблемой простых чисел занимались многие ученые математики, в том числе древнегреческий ученый Эратосфен. Его способ отыскания простых чисел назвали решетом Эратосфена.
Гольдбах и Эйлер, жившие в 18 веке и бывшие членами Петербургской академии наук занимались проблемой простых чисел. Они предполагали, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы простых чисел, но это не доказано. В 1937 году советский академик Виноградов доказал это предложение.
Индийский слон прожил 65 лет, крокодил – 51 год, верблюд – 23, лошадь – 19 лет. Какие из этих чисел простые и составные?
Зайца догоняет волк, ему надо пробраться через лабиринт. Можно пройти, если в ответе простое число [лабиринты в виде окружностей, на которых по три примера, а в центре домик]
1000-2; 250*2+9; 310/5
24/4, 2 2 +41, 23+140
10-3; 133+12; 28*5
К задаче на доске запись:
Делители 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48
Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36
НОД (48; 36) = 12 12 подарков определение НОД делителя правило нахождения НОД
А как найти НОД больших чисел, когда трудно перечислить все делители. По таблице и учебнику выводим правило. Выделяем главные слова: разложить, составить, перемножить.
Показываю примеры нахождения НОД с больших чисел, здесь можно сказать, что НОД больших чисел можно находить с помощью алгоритма Евклида. Подробно с этим алгоритмом мы познакомимся на занятиях математической школы.
Алгоритм – это правило, по которому выполняются действия. В 9 веке такие правила дал арабский математик Альхваруими.
4. Работа в группах по 4 человека.
Каждый получает один из 4 вариантов заданий, где указано следующее:
Ученик должен по учебнику изучить теорию и ответить на один вопрос
Изучить пример нахождения НОД
Выполнить задания для самостоятельной работы.
В конце работы проводится небольшая самостоятельная работа.
Карточки КСО
Вариант 1
1. Какое число называется простым? Какое число называется составным?
2. Найти НОД (96; 36)
Чтобы найти НОД чисел, надо разложить данные числа на простые множители.
| 96 | 2 |
| 48 | 2 |
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 | |
36=2 2 *3 2
96=2 5 *3
В разложение числа, являющегося НОД чисел 96 и 36, войдут общие простые множители с наименьшим показателем:
НОД (96;36)=2 2 *3=4*3=12
3. Решите самостоятельно. НОД(102; 84), НОД(75; 28), НОД(120; 144)
Вариант 2
1. Что значит разложить натуральное число на простые множители? Какое число называется общим делителем данных чисел?
2. Образец НОД (54; 72)=18
3. Решите самостоятельно НОД(144; 128), НОД (81; 64), НОД(360; 840)
Вариант 3
1. Какие числа называются взаимно простыми? Приведите пример.
2. Образец НОД (72; 96) =24
3. Решите самостоятельно НОД(102; 170), НОД(45; 64), НОД(864; 192)
Вариант 4
1. Как найти общий делитель чисел?
2. Образец НОД (360; 432)
3. Решите самостоятельно НОД (135; 105), НОД (128; 75), НОД(360;8400)
Самостоятельная работа
| Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Вариант 4 |
| НОД (180; 120) | НОД (150; 375) | НОД (135; 315; 450) | НОД (250; 125; 375) |
| НОД (2016; 1320) | НОД (504; 756) | НОД (1575, 6615) | НОД (468; 702) |
| НОД (3120; 900) | НОД (1028; 1152) | НОД (1512; 1008) | НОД (3375; 2250) |
5. Подведение итогов урока. Сообщение оценок за самостоятельную работу.
Запомните!
Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.
Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.
Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.
Простых чисел много, и первое среди них — число 2 . Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997 .
Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.
Например:
- число 12 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 ;
- число 36 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 , на 18 , на 36 .
Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12 ) называются делителями числа.
Запомните!
Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число «a » без остатка.
Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.
Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Наибольший из делителей этих чисел — 12 .
Общий делитель двух данных чисел «a » и «b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа «a » и «b ».
Запомните!
Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел «a » и «b » — это наибольшее число, на которое оба числа «a » и «b » делятся без остатка.
Кратко наибольший общий делитель чисел «a » и «b » записывают так :
НОД (a; b) .
Пример: НОД (12; 36) = 12 .
Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».
Д (7) = {1, 7}
Д (9) = {1, 9}
НОД (7; 9) = 1
Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1 . Такие числа называют взаимно простыми числами .
Запомните!
Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1 . Их НОД равен 1 .
Как найти наибольший общий делитель
Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:
- разложить делители чисел на простые множители;
Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.
Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64 .
- Подчёркиваем одинаковые
простые множители в обоих числах.
28 = 2 · 2 · 764 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
- Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;
НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».
