Деление окружности на любое число равных частей. Деление окружности на любое число равных частей Равные части линейки

Окружностью называется замкнутая кривая линия, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от одной точки О, называемой центром.

Прямые линии, соединяющие любую точку окружности с её центром, называют радиусами R.

Прямая АВ, соединяющая две точки окружности и проходящая через её центр О, называется диаметром D.

Части окружностей называются дугами .

Прямая СD, соединяющая две точки на окружности, называется хордой .

Прямая МN,которая имеет только одну общую точку с окружностью называется касательной .

Часть круга, ограниченная хордой СD и дугой, называется сигментом .

Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором .

Две взаимно перпендикулярные горизонтальная и вертикальная линии, пересекающиеся в центре окружности, называются осями окружности .

Угол, образованный двумя радиусами КОА, называется центральным углом .

Два взаимно перпендикулярных радиуса составляют угол в 90 0 и ограничивают 1/4 окружности.

Проводим окружность с горизонтальной и вертикальной осями, которые делят её на 4-ре равные части. Проведённые с помощью циркуля или угольника под 45 0 , две взаимно перпендикулярные линии делят окружность на 8-мь равных частей.

Деление окружности на 3 и 6 равных частей (кратные 3 трём)

Для деления окружности на 3, 6 и кратное им количество частей, проводим окружность заданного радиуса и соответствующие оси. Деление можно начинать от точки пересечения горизонтальной или вертикальной оси с окружностью. Заданный радиус окружности последовательно откладывается 6-ть раз. Затем полученные точки на окружности последовательно соединяются прямыми линиями и образуют правильный вписанный шести-угольник. Соединение точек через одну даёт равносторонний треугольник, и деление окружности на три равные части.

Построение правильного пятиугольника выполняется следующим образом. Проводим две взаимно перпендикулярные оси окружности равные диаметру окружности. Делим правую половину горизонтального диаметра пополам с помощью дуги R1. Из полученной точки "а" в середине этого отрезка радиусом R2 проводим дугу окружности до пересечения с горизонтальным диаметром в точке "b". Радиусом R3 из точки "1" проводят дугу окружности до пересечения с заданной окружностью (т.5) и получают сторону правильного пятиугольника. Расстояние "b-О" даёт сторону правильного десятиугольника.

Деление окружности на N-ное количество одинаковых частей (построение правильного многоугольника с N сторон)

Выполняется следующим образом. Проводим горизонтальную и вертикальную взаимно перпендикулярные оси окружности. Из верхней точки "1" окружности проводим под произвольным углом к вертикальной оси прямую линию. На ней откладываем равные отрезки произвольной длины, число которых равно числу частей на которое мы делим данную окружность, например 9. Конец последнего отрезка соединяем с нижней точкой вертикального диаметра. Проводим линии, параллельные полученной, из концов отложенных отрезков до пересечения с вертикальным диаметром, разделив таким образом вертикальный диаметр данной окружности на заданное количество частей. Радиусом равным диаметру окружности, из нижней точки вертикальной оси проводим дугу MN до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности. Из точек M и N проводим лучи через чётные (или нечётные) точки деления вертикального диаметра до пересечения с окружностью. Полученные отрезки окружности будут являться искомыми, т.к. точки 1, 2, …. 9 делят окружность на 9-ть (N) равных частей.

I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I ? АВ = 3 см 8 мм Запиши длину отрезка.АВ = 38 мм

1 Одно деление соответствует 1 ч. Кроме того, циферблат часов разделен на 60 маленьких делений. Одно маленькое Деление соответствует 1 минуте. В некоторых приборах шкалы располагаются на окружностях или дугах окружностей. На циферблате часов вся окружность разделена на 12 больших делений.

На рисунке показана шкала прибора, показывающего, сколько литров бензина осталось в баке автомобиля. Сколько литров бензина сейчас в баке? л б) при движении будет израсходовано 30 л? На сколько делений и в какую сторону передвинется стрелка прибора, если: а) в бензобак нальют еще 20 л бензина;

Побери гирю, чтобы узнать вес дыни. ПРОВЕРКА 1кг 100г 1кг 3кг 3кг 2кг

ПРОВЕРКА 3кг 50г Побери гирю, чтобы узнать вес арбуза. 2кг 1кг 3кг 3кг

ПРОВЕРКА 5кг 450г Побери гири, чтобы узнать вес тыкв. 3кг 3кг 1кг 2кг 2кг

ПРОВЕРКА 20 кг 800г 20кг Побери гирю, чтобы узнать вес снеговика. 5кг 2кг

I IIII I IIII I IIII I IIII I На рисунке изображена шкала. Какие числа соответствуют точкам А, В, С и D этой шкалы? 30 CBAD

На шкале времени деления обозначают один век. Покажите на шкале: а) а) начало и конец второго века; I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I II II III VI V VII VI VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVII XVI XVIII XIX XX б) б) конец шестого века; в) в) седьмой век; г) г) середину двенадцатого века; д) д) первую половину семнадцатого века.а в б г д

Пишут: О(0), Е(1), А(2), В(3) и т. д. Шаг за шагом получаем бесконечную шкалу. координатным лучом Ее называют координатным лучом. координатами Числа 0, 1, 2, 3, …, соответствующие точкам О, Е, А, В …, называют координатами этих точек. Начертим луч ОХ так, чтобы он шел слева направо. Отметим на этом луче какую-нибудь точку Е. единичным отрезком Над началом луча напишем число 0, а над точкой Е – число 1. Отрезок ОЕ называют единичным отрезком. 01E OX 2A3B456

АВ = 6 см. = 60 мм. IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII IIIII. Длины отрезков измеряют линейкой. На линейке нанесены штрихи. Они разбивают линейку на равные части. Эти части называют делениями. Все деления линейки образуют шкалу. Цена деления – 1 см. Мм.

Слайд 5 из презентации «Шкалы и координаты 5 класс» . Размер архива с презентацией 482 КБ.

Математика 5 класс

краткое содержание других презентаций

«Математическая викторина с ответами» - Промежуточные итоги. Кто же лучше вычисляет. Награждение команд. Цифры по порядку. Представление команд. Математическая викторина. Жюри. Отдохнуть уже пора. Посмотрите на рисунок. Четверостишье. Ребус. Кто быстрее впишет в квадратики нужные цифры. Кроссорд. Расшифруй математические термины. Повторение учебного материала. Анаграммы.

«Построение углов» - Вершина. Острый угол. Измерение углов. ?Аов, ?воа, ?о. Постройте острый угол. Постройте угол в 78о. Поменяйтесь с соседом по парте тетрадями. Построение и измерение углов. Развёрнутыйугол. Транспортир. Проверьте работу друг друга. Построение углов. Сторона. Работа в парах. Тупой угол. Градус. Сделайте то же задание, построив углы в 145о и 90о. Попросите соседа по парте проверить ваше построение. Сделайте то же задание, построив тупой угол.

«Среднее арифметическое значение» - Проверка заданий на карточках. Среднее арифметическое четырех чисел. Сумма чисел. Найдите среднее арифметическое. Задача. Устный счет. Используя найденные ответы и данные в таблице, заполните пропуски. Среднее арифметическое. Сумма восьми чисел. Индивидуальная работа. Пусть меньшее число равно х, тогда большее – 3,2х. Задание на сообразительность.

«Математика «Смешанные числа»» - Одна целая две третьих. Смешанное число. Выделить целую часть из неправильной дроби. Числитель дробной части. Математический диктант. Сложение и вычитание обыкновенных дробей. В классе. Знаменатель дробной части. Число, состоящее из целой части и дробной части, называют смешанным числом. Разделим каждое яблоко на три равные части. Представить смешанное число в виде неправильной дроби. Смешанные числа.

«Законы сложения и вычитания» - Законы вычитания. Натуральные числа. От вычитания нуля число не изменяется. Сложить все натуральные числа. Переместительное (коммутативное) свойство. Сочетательное (ассоциативное) свойство. Законы сложения и вычитания. Буквенная запись. Закон поглощения нуля. Свойство вычитания суммы из числа. Ноль. Найди значение выражения. Примеры применения законов.

«Запись натуральных чисел» - Число 1 не является наименьшим натуральным числом. Обозначение натуральных чисел. Сравните числа. Какие числа обозначают записи. Какие разряды вы знаете. Постановка проблемы. Арабские цифры. Обозначение чисел римскими цифрами. Вычислите. Графический диктант. Ответьте на вопросы. Ребус - это загадка, в которой искомое слово изображено буквами. 0 - не является натуральным числом. Цели урока. Как велик миллион.

Теория алгебраических и трансцендентных чисел позволила математикам решить три знаменитые геометрические задачи, остававшиеся нерешенными со времен античности. Мы имеем в виду задачу об «удвоении куба», задачу о «трисекции угла» и задачу о «квадратуре круга». Эти задачи относятся к построениям с помощью циркуля и линейки и состоят в следующем:

1) «Удвоение куба». Требуется построить куб, имеющий вдвое больший объем по сравнению с данным кубом. Хотя куб и пространственная фигура, задача, по существу, является планиметрической. В самом деле, если в качестве единицы длины взять ребро данного куба (рис. 16), - то задача будет состоять в построении отрезка длины 1/2, поскольку именно такой будет длина ребра куба, имеющего вдвое больший объем по сравнению с данным.

2) «Трисекция угла». Найти способ, посредством которого, используя лишь циркуль и линейку, можно любой угол разделить на три равные части. Имеется некоторые углы, например 90° или 45°, которые можно с помощью циркуля и линейки разделить на три равные части, однако так называемый - «общий» угол с помощью этих инструментов разделить на три равные части нельзя.

3) «Квадратура круга». Построить квадрат, по площади равный данному кругу, или, что равносильно, построить круг, равный по площади данному квадрату.

Известно, что эти три построения неосуществимы, т. е. они не могут быть выполнены с помощью лишь циркуля и линейки. Многие любители продолжают решать эти задачи не зная, что их усилия пропадают впустую.

Хотя такие любители и отдают себе отчет в том, что ни один математик не смог еще осуществить этих построений, они, по-видимому, неосведомлены о строго доказанной невозможности таких построений. Время от времени математики-любители находят приблизительное решение какой-нибудь из этих задач, но никогда, конечно, не находят их точных решений. Ясно, в чем заключается здесь различие: задача об удвоении куба, например, состоит в построении с помощью теоретически совершенных чертежных инструментов отрезка, который имел бы длину не приблизительно а в точности равную этому числу. Задача не решается построением, к примеру, отрезка длиной несмотря на то, что числа совпадают с точностью до шести десятичных знаков.

В случае задачи о трисекции угла имеется особый источник непонимания.

Любой угол можно разделить на три равные части, если воспользоваться линейкой с делениями Таким образом, утверждение о невозможности разделения общего угла на три равные части может быть сделано лишь тогда, когда предполагается, что допустимыми инструментами при построении являются циркуль и линейка без делений.

Так как в отношении этих трех классических задач имеет место большая путаница, мы сейчас бегло объясним, как можно доказать невозможность всех трех построений. Мы не можем дать здесь полных доказательств, поскольку в деталях они довольно специальны. Если читатель желает подробно с ними познакомиться, то он может обратиться к книге Р. Куранта и Г. Роббинса , в которой имеется полный разбор задач о трисекции угла и об удвоении куба (стр. 197-205). Доказательство невозможности квадратуры круга значительно сложнее доказательств невозможности двух других построений.

Как можно доказать невозможность интересующих нас построений? Первым делом нужно в какой-то степени понять, отрезки какой длины могут быть построены с помощью циркуля и линейки, если задан отрезок единичной длины. Не приводя доказательств, мы утверждаем (и каждый знакомый с геометрическими построениями согласится с нами), что среди длин, которые можйо построить, находятся все длины, получаемые последовательными извлечениями квадратных корней, примененными к рациональным числам, например.

Все получаемые таким образом числа - алгебраические.

Четыре числа (10), выписанные в качестве примера, являются соответственно корнями следующих уравнений:

(11)

Возьмем одно из уравнений, скажем (13), и проверим, что число

действительно является его корнем. Возводя обе части последнего равенства в квадрат, получим

Перенося член 5 налево и опять возводя в квадрат, находим

Теперь еще одно возведение обеих частей в квадрат приводит к уравнению (13).

Далее, помимо того, что числа (10) являются соответственно корнями уравнений (11) - (14), ни одно из этих чисел не является корнем уравнения с целыми коэффициентами меньшей степени. Возьмем, например, число . Оно удовлетворяет уравнению (12) степени 4, но не удовлетворяет никакому уравнению степени 3, 2 или 1 с целыми коэффициентами. (Мы не доказываем этого утверждения.) Если алгебраическое число есть корень уравнения степени с целыми коэффициентами, но не является корнем никакого уравнения меньшей степени с целыми коэффициентами, то оно называется алгебраическим числом степени . Таким образом, числа (10) - алгебраические числа степеней 2, 4, 8 и 16 соответственно.

Вышеизложенное подсказывает следующий основной результат о длинах отрезков, которые могут быть построены при помощи циркуля и линейки:

Теорема о геометрических построениях. Длина любого отрезка, который может быть построен, исходя из данного отрезка единичной длины, при помощи циркуля и линейки, есть алгебраическое число степени либо 1, либо 2, либо 4, либо 8,..., т. е., вообще говоря, степени , где - целое неотрицательное число.

Мы предлагаем читателю принять этот результат на веру и, базируясь на нем, покажем, что все три знаменитые построения невозможны.

Начнем с задачи об удвоении куба. Как мы видели выше при ее формулировке, она равносильна следующей: исходя из отрезка единичной длины построить отрезок длины . Но удовлетворяет ли число необходимым для этого условиям? Оно удовлетворяет уравнению

и это наводит на мысль, что п. есть алгебраическое число степени 3. В действительности именно так дело и обстоит, и, чтобы убедиться в этом, нужно лишь показать, что число не удовлетворяет никакому уравнению с целыми коэффициентами степени 1 или 2. Доказательство этого хотя и несложно, требует некоторой хитрости, и мы отложим его до следующего параграфа.

Поскольку есть алгебраическое число степени 3, то в силу сформулированной выше теоремы о геометрических построениях невозможно построить отрезок длины , исходя из отрезка единичной длины. Таким образом, удвоить куб невозможно.

Рассмотрим теперь задачу о трисекции угла. Чтобы установить невозможность трисекции в общем случае, достаточно показать, что некоторый фиксированный угол не может быть разделен на три одинаковые части циркулем и линейкой. Возьмем угол, равный 60°. Трисекция угла в 60° означает построение угла в 20°. Это сводится к построению, исходя из данного отрезка единичной длины, отрезка, имеющего длину . Чтобы в этом убедиться, рассмотрим треугольник с основанием длины 1 и с углами при основании 60° и 90°, т. е. треугольник ABC с основанием и углами ВАС - 60° и (рис. 17). На стороне ВС возьмем точку D так, чтобы угол BAD был равен 20°. Из элементарной тригонометрии мы знаем, что

Таким образом, трисекция угла 60° сводится к построению отрезка длины . Но это в свою очередь сводится к построению отрезка длинны , поскольку суть обратные друг другу числа, а хорошо известно, что если можно построить отрезок некоторой данной длины, то можно построить и отрезок обратной длины.

Начнем с линейки английского типа. На ней нанесено 12 делений (большие отметки), обозначающих дюймы. 12 дюймов равны 1 футу (30,5 см). Каждый дюйм разбит на 15 делений (мелкие отметки), то есть каждый дюйм на линейке обозначен 16 отметками.

• Чем больше отметка, тем больше показатель. Начиная с отметки «1 дюйм» и заканчивая отметкой «1/16 дюйма», отметки уменьшаются в размерах в соответствии с уменьшением показателей.
• Показания линейки читаются слева направо. Если вы измеряете какой-то предмет, совместите его начало (или конец) с левым концом линейки. Число, найденное вами на линейке справа, определяет длину предмета.

На линейке английского типа есть 12 дюймовых делений. Они пронумерованы и обозначаются самыми большими отметками. Например, если вам нужно измерить длину гвоздя, совместите его начало (или конец) с левым концом линейки. Если конец (или начало) гвоздя совмещается с большой отметкой «5», то длина гвоздя составляет 5 дюймов.

• На некоторых линейках также нанесены отметки «1/2 дюйма», поэтому не перепутайте самые большие дюймовые отметки с небольшими отметками.

Отметки «1/2 дюйма». Такие отметки вдвое короче дюймовых отметок. Они ставятся посередине каждого деления в 1 дюйм, потому что обозначают половину дюйма. То есть такие отметки наносятся между 0 и 1 дюймом, 1 и 2 дюймами, 2 и 3 дюймами и так далее. Таких отметок на 12-дюймовой линейке 24.

• Например, совместите левый конец линейки с верхушкой ластика на карандаше. Если конец грифеля указывает на отметку между отметками «4 дюйма» и «5 дюймов», то длина карандаша равна 4 и 1/2 дюйма.

Отметки «1/4 дюйма». Такие отметки ставятся посередине отметок «1/2 дюйма», имеют меньший размер и обозначают 1/4 дюйма. В первом дюйме эти отметки обозначают 1/4, 1/2, 3/4 и 1 дюйм. Хотя есть отдельные отметки «1/2 дюйма» и «1 дюйм», но они включаются в измерения по 1/4 дюйма, потому что 2/4 дюйма равны половине дюйма, а 4/4 дюйма равны 1 дюйму. Таких отметок на 12-дюймовой линейке 48.

• Например, если вы измеряете морковь и ее конец совмещается с отметкой между отметками «6 1/2» и «7», то длина моркови равна 6 и 3/4 дюйма.

Отметки «1/8 дюйма». Такие отметки ставятся между отметками «1/4 дюйма». Между 0 и 1 дюймами есть отметки, обозначающие 1/8, 1/4 (или 2/8), 3/8, 1/2 (или 4/8), 5/8, 6/8 (или 3/4), 7/8 и 1 (или 8/8) дюйма. Таких отметок на 12-дюймовой линейке 96.

• Например, вы измеряете кусок ткани и ее край совмещается с 6 отметкой после отметки «4» дюйма, которая расположена непосредственно между отметками «1/4 дюйма» и «1/2 дюйма». Это означает, что длина ткани равна 4 и 3/8 дюйма.

Отметки «1/16 дюйма». Такие отметки ставятся между отметками «1/8 дюйма». Это самые маленькие отметки на линейке. Между 0 и 1 дюймами есть отметки, обозначающие 1/16, 2/16 (или 1/8), 3/16, 4/16 (или 1/4), 5/16, 6/16 (или 3/8), 7/16, 8/16 (или 1/2), 9/16, 10/16 (или 5/8), 11/16, 12/16 (3/4), 13/16, 14/16 (или 7/8), 15/16, 16/16 (или 1) дюйма. Таких отметок на 12-дюймовой линейке 192.

• Например, вы измеряете цветочный стебель и его конец совпадает с 11 отметкой после отметки «5 дюймов». В этом случае длина стебля составляет 5 и 11/16 дюймов.
• Не каждая линейка имеет отметки «1/16 дюйма». Если вы планируете измерять маленькие предметы, или вы хотите сделать точные измерения, убедитесь, что на вашей линейке есть такие отметки.