Как построить обратную функцию по графику. Обратная функция. Доказательство свойства о симметрии графиков прямой и обратной функций
Определение обратной функции и ее свойства: лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций; симметрия графиков прямой и обратной функций; теоремы о существовании и непрерывности обратной функции для функции, строго монотонной на отрезке, интервале и полуинтервале. Примеры обратных функций. Пример решения задачи. Доказательства свойств и теорем.
СодержаниеСм. также: Определение функции, верхней и нижней граней, монотонной функции.
Определение и свойства
Определение обратной функции
Пусть функция имеет область определения X
и множество значений Y
.
И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y
можно поставить в соответствие только один элемент множества X
,
для которого .
Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией
к .
Обратная функция обозначается так:
.
Из определения следует, что
;
для всех ;
для всех .
Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке .
Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция ,
которая строго возрастает (убывает).
Для возрастающей функции . Для убывающей - .
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале .
Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция ,
которая строго возрастает (убывает).
Для возрастающей функции .
Для убывающей: .
Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.
Если функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на полуинтервале или , то на полуинтервале или определена обратная функция , которая строго возрастает (убывает). Здесь .
Если строго возрастает, то интервалам и соответствуют интервалы и .
Если строго убывает, то интервалам и соответствуют интервалы и .
Эта теорема доказывается тем же способом, что и теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале.
Примеры обратных функций
Арксинус
Графики y = sin x и обратной функции y = arcsin x .
Рассмотрим тригонометрическую функцию синус : . Она определена и непрерывна для всех значений аргумента , но не является монотонной. Однако, если сузить область определения, то можно выделить монотонные участки. Так, на отрезке , функция определена, непрерывна, строго возрастает и принимает значения от -1 до +1 . Поэтому имеет на нем обратную функцию, которую называют арксинусом. Арксинус имеет область определения и множество значений .
Логарифм
Графики y = 2 x и обратной функции y = log 2 x .
Показательная функция определена, непрерывна и строго возрастает при всех значений аргумента . Множеством ее значений является открытый интервал . Обратной функцией является логарифм по основанию два. Он имеет область определения и множество значений .
Квадратный корень
Графики y = x 2 и обратной функции .
Степенная функция определена и непрерывна для всех . Множеством ее значений является полуинтервал . Но она не является монотонной при всех значений аргумента. Однако, на полуинтервале она непрерывна и строго монотонно возрастает. Поэтому если, в качестве области определения, взять множество , то существует обратная функция, которая называется квадратным корнем. Обратная функция имеет область определения и множество значений .
Пример. Доказательство существования и единственности корня степени n
Докажите, что уравнение , где n - натуральное, - действительное неотрицательное число, имеет единственное решение на множестве действительных чисел, . Это решение называется корнем степени n из числа a . То есть нужно показать, что любое неотрицательное число имеет единственный корень степени n .
Рассмотрим функцию от переменной x
:
(П1)
.
Докажем, что она непрерывна.
Используя определение непрерывности , покажем, что
.
Применяем формулу бинома Ньютона:
(П2)
.
Применим арифметические свойства пределов функции . Поскольку ,
то отлично от нуля только первое слагаемое:
.
Непрерывность доказана.
Докажем, что функция (П1) строго возрастает при .
Возьмем произвольные числа ,
связанные неравенствами:
,
,
.
Нам нужно показать, что .
Введем переменные .
Тогда .
Поскольку ,
то из (П2) видно, что .
Или
.
Строгое возрастание доказано.
Найдем множество значений функции при .
В точке ,
.
Найдем предел .
Для этого применим неравенство Бернулли . При имеем:
.
Поскольку ,
то и .
Применяя свойство неравенств бесконечно больших функций находим, что .
Таким образом, ,
.
Согласно теореме об обратной функции, на интервале определена и непрерывна обратная функция .
То есть для любого существует единственное ,
удовлетворяющее уравнению .
Поскольку у нас ,
то это означает, что для любого ,
уравнение имеет единственное решение, которое называют корнем степени n
из числа x
:
.
Доказательства свойств и теорем
Доказательство леммы о взаимной монотонности прямой и обратной функций
Пусть функция имеет область определения X
и множество значений Y
.
Докажем, что она имеет обратную функцию. Исходя из , нам нужно доказать, что
для всех .
Допустим противное. Пусть существуют числа ,
так что .
Пусть при этом .
Иначе, поменяем обозначения, чтобы было .
Тогда, в силу строгой монотонности f
,
должно выполняться одно из неравенств:
если f
строго возрастает;
если f
строго убывает.
То есть .
Возникло противоречие. Следовательно, имеет обратную функцию .
Пусть функция строго возрастает. Докажем, что и обратная функция также строго возрастает. Введем обозначения:
.
То есть нам нужно доказать, что если ,
то .
Допустим противное. Пусть , но .
Если , то . Этот случай отпадает.
Пусть .
Тогда, в силу строгого возрастания функции ,
,
или .
Возникло противоречие. Поэтому возможен только случай .
Для строго возрастающей функции лемма доказана. Аналогичным образом можно доказать эту лемму и для строго убывающей функции.
Доказательство свойства о симметрии графиков прямой и обратной функций
Пусть - произвольная точка графика прямой функции :
(2.1)
.
Покажем, что точка ,
симметричная точке A
относительно прямой ,
принадлежит графику обратной функции :
.
Из определения обратной функции следует, что
(2.2)
.
Таким образом, нам нужно показать (2.2).
График обратной функции y = f -1 (x) симметричен графику прямой функции y = f(x) относительно прямой y = x .
Из точек A
и S
опустим перпендикуляры на оси координат. Тогда
,
.
Через точку A проводим прямую, перпендикулярную прямой . Пусть прямые пересекаются в точке C . На прямой строим точку S так, чтобы . Тогда точка S будет симметрична точке A относительно прямой .
Рассмотрим треугольники и .
Они имеют две равные по длине стороны: и ,
и равные углы между ними: .
Поэтому они конгруэнтны. Тогда
.
Рассмотрим треугольник .
Поскольку ,
то
.
Тоже самое относится к треугольнику :
.
Тогда
.
Теперь находим и :
;
.
Итак, уравнение (2.2):
(2.2)
выполняется, поскольку ,
и выполняется (2.1):
(2.1)
.
Так как мы выбрали точку A
произвольно, то это относится ко всем точкам графика :
все точки графика функции ,
симметрично отраженные относительно прямой ,
принадлежат графику обратной функции .
Далее мы можем поменять и местами. В результате получим, что
все точки графика функции ,
симметрично отраженные относительно прямой ,
принадлежат графику функции .
Отсюда следует, что графики функций и симметричны относительно прямой .
Свойство доказано.
Доказательство теоремы о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке
Пусть обозначает область определения функции - отрезок .
1.
Покажем, что множеством значений функции является отрезок :
,
где .
Действительно, поскольку функция непрерывна на отрезке , то по теореме Вейерштрасса она достигает на нем минимума и максимума . Тогда по теореме Больцано - Коши функция принимает все значения из отрезка . То есть для любого существует , для которого . Поскольку и есть минимум и максимум, то функция принимает на отрезке только значения из множества .
2. Поскольку функция строго монотонна, то согласно вышеприведенной , существует обратная функция , которая также строго монотонна (возрастает, если возрастает ; и убывает, если убывает ). Областью определения обратной функции является множество , а множеством значений - множество .
3. Теперь докажем, что обратная функция непрерывна.
3.1. Пусть есть произвольная внутренняя точка отрезка : . Докажем, что обратная функция непрерывна в этой точке.
Пусть ей соответствует точка .
Поскольку обратная функция строго монотонна, то есть внутренняя точка отрезка :
.
Согласно определению непрерывности нам нужно доказать, что для любого имеется такая функция ,
при которой
(3.1)
для всех .
Заметим, что мы можем взять сколь угодно малым. Действительно, если мы нашли такую функцию , при которой неравенства (3.1) выполняются при достаточно малых значениях , то они будут автоматически выполняться и при любых больших значениях , если положить при .
Возьмем настолько малым, чтобы точки и принадлежали отрезку :
.
Введем и упорядочим обозначения:
.
Преобразуем первое неравенство (3.1):
(3.1)
для всех .
;
;
;
(3.2)
.
Поскольку строго монотонна, то отсюда следует, что
(3.3.1)
,
если возрастает;
(3.3.2)
,
если убывает.
Поскольку обратная функция также строго монотонна, то из неравенств (3.3) следуют неравенства (3.2).
Для любого ε > 0 существует δ , так что |f -1 (y) - f -1 (y 0) | < ε для всех |y - y 0 | < δ .
Неравенства (3.3) определяют открытый интервал, концы которого удалены от точки на расстояния и .
Пусть есть наименьшее из этих расстояний:
.
В силу строгой монотонности ,
,
.
Поэтому и .
Тогда интервал будет лежать в интервале, определяемом неравенствами (3.3). И для всех значений ,
принадлежащих ему будут выполняться неравенства (3.2).
Итак, мы нашли, что для достаточно малого ,
существует ,
так что
при .
Теперь изменим обозначения.
Для достаточно малого ,
существует такое ,
так что
при .
Это означает, что обратная функция непрерывна во внутренних точках .
3.2. Теперь рассмотрим концы области определения. Здесь все рассуждения остаются теми же самыми. Только нужно рассматривать односторонние окрестности этих точек. Вместо точки будет или , а вместо точки - или .
Так, для возрастающей функции ,
.
при .
Обратная функция непрерывна в точке ,
поскольку для любого достаточно малого имеется ,
так что
при .
Для убывающей функции ,
.
Обратная функция непрерывна в точке ,
поскольку для любого достаточно малого имеется ,
так что
при .
Обратная функция непрерывна в точке ,
поскольку для любого достаточно малого имеется ,
так что
при .
Теорема доказана.
Доказательство теоремы о существовании и непрерывности обратной функции на интервале
Пусть обозначает область определения функции - открытый интервал .
Пусть - множество ее значений. Согласно приведенной выше , существует обратная функция ,
которая имеет область определения ,
множество значений и является строго монотонной (возрастает если возрастает и убывает если убывает ). Нам осталось доказать, что
1)
множеством является открытый интервал ,
и что
2)
обратная функция непрерывна на нем.
Здесь .
1.
Покажем, что множеством значений функции является открытый интервал :
.
Как и всякое непустое множество, элементы которого имеют операцию сравнения, множество значений функции имеет нижнюю и верхнюю грани:
.
Здесь и могут быть конечными числами или символами и .
1.1. Покажем, что точки и не принадлежат множеству значений функции. То есть множество значений не может быть отрезком .
Если или является бесконечно удаленной точкой : или , то такая точка не является элементом множества. Поэтому она не может принадлежать множеству значений.
Пусть (или ) является конечным числом. Допустим противное. Пусть точка (или ) принадлежит множеству значений функции .
То есть существует такое ,
для которого (или ). Возьмем точки и ,
удовлетворяющие неравенствам:
.
Поскольку функция строго монотонна, то
,
если f
возрастает;
,
если f
убывает.
То есть мы нашли точку, значение функции в которой меньше (больше ). Но это противоречит определению нижней (верхней) грани, согласно которому
для всех .
Поэтому точки и не могут принадлежать множеству значений функции .
1.2. Теперь покажем, что множество значений является интервалом , а не объединением интервалов и точек. То есть для любой точки существует , для которого .
Согласно определениям нижней и верхней граней, в любой окрестности точек и содержится хотя бы один элемент множества .
Пусть - произвольное число, принадлежащее интервалу :
.
Тогда для окрестности существует ,
для которого
.
Для окрестности существует ,
для которого
.
Поскольку и ,
то .
Тогда
(4.1.1)
если возрастает;
(4.1.2)
если убывает.
Неравенства (4.1) легко доказать от противного. Но можно воспользоваться , согласно которой на множестве существует обратная функция ,
которая строго возрастает, если возрастает и строго убывает, если убывает .
Тогда сразу получаем неравенства (4.1).
Итак, мы имеем отрезок ,
где если возрастает;
если убывает.
На концах отрезка функция принимает значения и .
Поскольку ,
то по теореме Больцано - Коши , существует точка ,
для которой .
Поскольку , то тем самым мы показали, что для любого существует , для которого . Это означает, что множеством значений функции является открытый интервал .
2. Теперь покажем, что обратная функция непрерывна в произвольной точке интервала : . Для этого применим к отрезку . Поскольку , то обратная функция непрерывна на отрезке , в том числе и в точке .
Теорема доказана.
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?
Определение .
Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.
Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.
Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо :
1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:
2) Из полученного равенства выразить y через x:
Найти функцию, обратную функции y=2x-6.
Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.
Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).
y=2x-6 и y=0,5x+3 — . Графиком линейной функции является . Для построения прямой берём две точки.
Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой ).
Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)
Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.
Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.
Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.
Классический пример — . На промежутке
Е(у) = [-π/2;π/2]
у (-х) = arcsin(-х) = - arcsin х – функция нечетная, график симметричен относительно точки О(0;0).
arcsin х = 0 при х = 0.
arcsin х > 0 при х є (0;1]
arcsin х < 0 при х є [-1;0)
у = arcsin х возрастает при любом х є [-1;1]
1 ≤ х 1 < х 2 ≤ 1 <=> arcsin х 1 < arcsin х 2 – функция возрастающая.
Арккосинус
Функция косинус убывает на отрезке и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому для любого числа а, такого, что |а|1, на отрезке существует единственный корень в уравнении cosx=a. Это число в называют арккосинусом числа а и обозначают arcos а.
Определение . Арккосинусом числа а, где -1 а 1, называется такое число из отрезка , косинус которого равен а.
Свойства.
Е(у) =
у(-х) = arccos(-х) = π - arccos х – функция не является ни четной, ни нечетной.
arccos х = 0 при х = 1
arccos х > 0 при х є [-1;1)
arccos х < 0 – нет решений
у = arccos х убывает при любом х є [-1;1]
1 ≤ х 1 < х 2 ≤ 1 <=> arcsin х 1 ≥ arcsin х 2 – убывающая.
Арктангенс
Функция
тангенс возрастает на отрезке
-
,
следовательно, по теореме о корне
уравнение tgx=a,
где а - любое действительное число, имеет
единственный корень х на интервале
-.
Этот
корень называют арктангенсом числа а
и обозначают arctga.
Определение. Арктангенсом числа a R называется такое число х , тангенс которого равен а.
Свойства.
Е(у) = (-π/2;π/2)
у(-х) = у = arctg(-х) = - arctg х – функция является нечетной, график симметричен относительно точки О(0;0).
arctg х = 0 при х = 0
Функция возрастает при любом х є R
-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=> arctg х 1 < arctg х 2
Арккотангенс
Функция котангенс на интервале (0;) убывает и принимает все значения из R. Поэтому для любого числа а в интервале (0;) существует единственный корень уравнения ctg х = а. Это число а называют арккотангенсом числа а и обозначают arcctg а.
Определение. Арккотангенсом числа а, где а R, называется такое число из интервала (0;), котангенс которого равен а.
Свойства.
Е(у) = (0;π)
у(-х) = arcctg(-х) = π - arcctg х – функция не является ни четной, ни нечетной.
arcctg х = 0 – не существует.
Функция у = arcctg х убывает при любом х є R
-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=> arcctg х 1 > arcctg х 2
Функция непрерывна при любом х є R.
2.3 Тождественные преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции
Пример 1 . Упростить выражение:
а)
где
Решение.
Положим
.
Тогда
и
Чтобы найти
,
воспользуемся соотношением
Получаем
Но
.
На этом отрезке косинус принимает только
положительные значения. Таким образом,
,
то есть
где
.
б)
Решение.
Решение.
Положим
.
Тогда
и
Найдем сначала
,
для чего воспользуемся формулой
,
откуда
Так как
и на этом интервале косинус принимает
только положительные значения, то
.
Допустим, что у нас есть некая функция y = f (x) , которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения x ∈ a ; b ; область ее значений y ∈ c ; d , а на интервале c ; d при этом у нас будет определена функция x = g (y) с областью значений a ; b . Вторая функция также будет непрерывной и строго монотонной. По отношению к y = f (x) она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции x = g (y) тогда, когда y = f (x) на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.
Две этих функции, f и g , будут взаимно обратными.
Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?
Это нужно нам для решения уравнений y = f (x) , которые записываются как раз с помощью этих выражений.
Допустим, нам нужно найти решение уравнения cos (x) = 1 3 . Его решениями будут все точки: x = ± a rс c o s 1 3 + 2 π · k , k ∈ Z
Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.
Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.
Пример 1
Условие: какая функция будет обратной для y = 3 x + 2 ?
Решение
Область определений и область значений функции, заданной в условии, – это множество всех действительных чисел. Попробуем решить данное уравнение через x , то есть выразив x через y .
Мы получим x = 1 3 y - 2 3 . Это и есть нужная нам обратная функция, но y здесь будет аргументом, а x - функцией. Переставим их, чтобы получить более привычную форму записи:
Ответ: функция y = 1 3 x - 2 3 будет обратной для y = 3 x + 2 .
Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:
Мы видим симметричность обоих графиков относительно y = x . Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.
Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.
Пример 2
Условие: определите, какая функция будет обратной для y = 2 x .
Решение
Для заданной функции областью определения являются все действительные числа. Область значений лежит в интервале 0 ; + ∞ . Теперь нам нужно выразить x через y , то есть решить указанное уравнение через x . Мы получаем x = log 2 y . Переставим переменные и получим y = log 2 x .
В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.
Ответ: y = log 2 x .
На графике обе функции будут выглядеть так:
Основные свойства взаимно обратных функций
В этом пункте мы перечислим основные свойства функций y = f (x) и x = g (y) , являющихся взаимно обратными.
Определение 1
- Первое свойство мы уже вывели ранее: y = f (g (y)) и x = g (f (x)) .
- Второе свойство вытекает из первого: область определения y = f (x) будет совпадать с областью значений обратной функции x = g (y) , и наоборот.
- Графики функций, являющихся обратными, будут симметричными относительно y = x .
- Если y = f (x) является возрастающей, то и x = g (y) будет возрастать, а если y = f (x) убывает, то убывает и x = g (y) .
Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции y = f (x) = a x и x = g (y) = log a y . Согласно первому свойству, y = f (g (y)) = a log a y . Данное равенство будет верным только в случае положительных значений y , а для отрицательных логарифм не определен, поэтому не спешите записывать, что a log a y = y . Обязательно проверьте и добавьте, что это верно только при положительном y .
А вот равенство x = f (g (x)) = log a a x = x будет верным при любых действительных значениях x .
Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями. Так, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3 , потому что область значений арксинуса - π 2 ; π 2 и 7 π 3 в нее не входит. Верной будет запись
a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = п о ф о р м у л е п р и в и д е н и я = a r c sin sin π 3 = π 3
А вот sin a r c sin 1 3 = 1 3 – верное равенство, т.е. sin (a r c sin x) = x при x ∈ - 1 ; 1 и a r c sin (sin x) = x при x ∈ - π 2 ; π 2 . Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!
- Основные взаимно обратные функции: степенные
Если у нас есть степенная функция y = x a , то при x > 0 степенная функция x = y 1 a также будет обратной ей. Заменим буквы и получим соответственно y = x a и x = y 1 a .
На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):
- Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические
Возьмем a,которое будет положительным числом, не равным 1 .
Графики для функций с a > 1 и a < 1 будут выглядеть так:
- Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические
Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью).
Пусть множества $X$ и $Y$ включены в множество действительных чисел. Введем понятие обратимой функции .
Определение 1
Функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ называется обратимой, если для любых элементов $x_1,x_2\in X$ из того что $x_1\ne x_2$ следует, что $f(x_1)\ne f(x_2)$.
Теперь мы можем ввести понятие обратной функции.
Определение 2
Пусть функция $f:X\to Y$ отображающая множество $X$ в множество $Y$ обратима. Тогда функция $f^{-1}:Y\to X$ отображающая множество $Y$ в множество $X$ определяемая условием $f^{-1}\left(y\right)=x$ называется обратной для $f(x)$.
Сформулируем теорему:
Теорема 1
Пусть функция $y=f(x)$ определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке $X$. Тогда в соответствующем промежутке $Y$ значений этой функции у нее существует обратная функция, которая также монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке $Y$.
Введем теперь, непосредственно, понятие взаимно обратных функций.
Определение 3
В рамках определения 2, функции $f(x)$ и $f^{-1}\left(y\right)$ называются взаимно обратными функциями.
Свойства взаимно обратных функций
Пусть функции $y=f(x)$ и $x=g(y)$ взаимно обратные, тогда
$y=f(g\left(y\right))$ и $x=g(f(x))$
Область определения функции $y=f(x)$ равна области значения функции$\ x=g(y)$. А область определения функции $x=g(y)$ равна области значения функции$\ y=f(x)$.
Графики функций $y=f(x)$ и $x=g(y)$ симметричны относительно прямой $y=x$.
Если одна из функций возрастает (убывает), то и другая функция возрастает (убывает).
Нахождение обратной функции
Решается уравнение $y=f(x)$ относительно переменной $x$.
Из полученных корней находят те, которые принадлежат промежутку $X$.
Найденные $x$ ставят в соответствия числу $y$.
Пример 1
Найти обратную функцию, для функции $y=x^2$ на промежутке $X=[-1,0]$
Так как эта функция убывает и непрерывна на промежутке $X$, то на промежутке $Y=$, которая также убывает и непрерывна на этом промежутке (теорема 1).
Вычислим $x$:
\ \
Выбираем подходящие $x$:
Ответ: обратная функция $y=-\sqrt{x}$.
Задачи на нахождение обратных функций
В этой части рассмотрим обратные функции для некоторых элементарных функций. Задачи будем решать по схеме, данной выше.
Пример 2
Найти обратную функцию для функции $y=x+4$
Найдем $x$ из уравнения $y=x+4$:
Пример 3
Найти обратную функцию для функции $y=x^3$
Решение.
Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.
Найдем $x$ из уравнения $y=x^3$:
Находим подходящие значения $x$
Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид
Пример 4
Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $$
Решение.
Рассмотрим на множестве $X=\left$ функцию $y=cosx$. Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left$.
Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$:
Находим подходящие значения $x$
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид
Пример 5
Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.
Решение.
Рассмотрим на множестве $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ функцию $y=tgx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$
Найдем $x$ из уравнения $y=tgx$:
Находим подходящие значения $x$
Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид