Способы преобразования комплексного чертежа. Open Library - открытая библиотека учебной информации В чем состоит способ замены плоскостей проекций
Сущность способа замены плоскостей рассмотрим на примере. На (рис. 5.1). дана точка А в системе плоскостей проекций p 1 / p 2 . Заменим одну из них, например p 2 , другой вертикальной плоскостью p 4 ^ p 1 , т.е. перейдём к новой системе плоскостей проекций p 4 / p 1 . Определим новую фронтальную проекцию точки А 4 , использую для этого неизменность координаты Z точки А , т.к. горизонтальная плоскость проекций p 1 является общей для исходной и новой системы. На эпюре из горизонтальной проекции А 1 проведём линию связи, перпендикулярную к новой оси x 14 и отложим координату Z точки А .
Рис. 5.1. Способ замены плоскостей.
Способом замены плоскостей определяют натуральную величину прямой, плоскости, определяют расстояние между прямыми, плоскостями и т.д. При решении задач приходится менять последовательно либо одну, либо две плоскости проекций так, чтобы геометрические объекты оказались в частном положении относительно новой системы.
Рассмотрим задачи на преобразование прямой и плоскости:
Задача: Дана прямая АВ общего положения (рис. 5.2). Преобразовать прямую АВ в проецирующую прямую.
Рис. 5.2.
Решение: Прямую общего положения возможно преобразовать в проецирующую прямую только двумя последовательными заменами плоскостей проекций. Т.к. плоскость проекций, перпендикулярная к прямой общего положения, не будет перпендикулярна не к p 1 , не к p 2 . Первоначально заменим плоскость проекций p 2 на p 4 (^ p 1) параллельно прямой АВ , новая ось проекций x 14 || А 1 В 1 . Построим новую фронтальную проекцию А 4 В 4 , отложив неизменную координату Z . Прямая АВ преобразована в новой системе p 1 / p 4 во фронталь, А 4 В 4 – натуральная величина отрезка прямой, а угол a - угол наклона прямой к плоскости проекций p 1 . Затем заменим плоскость проекций p 1 на p 5 (^ p 4) перпендикулярно прямой АВ , новая ось проекций x 45 ^ А 4 В 4 . Построим новую горизонтальную проекцию А 5 В 5 , отложив неизменную координату Y , прямая АВ , Выражается в точку A 5 º B 5 и является горизонтально – проецирующей прямой в новой системе плоскостей p 4 / p 5 .
Задача: Даны две параллельные прямые линии АВ и СD (рис. 5.3). Определить расстояние между ними.
Рис. 5.3.
Решение: Чтобы определить расстояние между параллельными прямыми, необходимо преобразовать их в проецирующие прямые. Этого можно добиться двумя последовательными заменами плоскостей проекций. Первая замена плоскости проекций p 1 на p 5 параллельно данным прямым, новая ось проекций Х 25 || С 2 D 2 || А 2 В 2 . Прямые АВ и СD преобразованы в новой системе плоскостей проекций p 2 / p 5 в горизонтали. Вторая замена плоскости проекций p 2 на p 4 перпендикулярно прямым АВ и СD , новая ось проекций x 45 ^ С 5 D 5 ^ (А 5 В 5) На новую горизонтальную плоскость p 5 прямые АВ и СD проецируются в точки A 5 º B 5 , C 5 º D 5 . Измеряем расстояние между точками.
Задача: Дана плоскость, треугольник АВС общего положения (рис. 5.4). Определить натуральную величину треугольника АВС .
Рис. 5.4.
Решение: Чтобы определить натуральную величину плоскости, необходимо расположить её параллельно плоскости проекций. Плоскость общего положения невозможно сразу преобразовать в плоскость уровня, т.к. параллельная ей новая плоскость проекций не будет перпендикулярна ни к p 1 , ни к p 2 . Поэтому, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций, преобразовав данную плоскость сначала в проецирующую, а затем в плоскость уровня.
Заменим плоскость проекций p 2 на p 4 перпендикулярно треугольнику АВС . Чтобы определить направление p 4 , проведём в треугольнике АВС горизонталь h . Новая плоскость проекций p 4 будет перпендикулярна горизонтали, новая ось проекций x 14 ^ h 1 . На линии связи откладываем неизменные координаты Z A , Z B , Z C . Новая фронтальная проекция A 4 B 4 C 4 в системе плоскостей p 1 /p 2 представляет собой прямую линию, плоскость (АВС ) преобразована во фронтально проецирующую.
Затем заменим плоскость проекций p 1 на плоскость p 5 параллельно треугольнику АВС , новая ось проекций x 45 || А 4 В 4 С 4 , неизменной остаётся координата Y . В новой системе плоскостей p 4 / p 5 треугольник АВС является горизонтальной плоскостью уровня. Новая горизонтальная проекция А 5 В 5 С 5 – натуральная величина треугольника АВС .
Способ вращения
Суть способа вращения состоит в том, что геометрический объект вращают в пространстве вокруг выбранной оси i до требуемого положения относительно плоскостей проекций. Траектории движения точек объекта являются дугами окружностей, центр которых находится на оси вращения.
Назначение способов преобразования чертежа состоит в том, чтобы геометрическую фигуру общего положения расположить в частное положение относительно плоскостей проекций с целью использования свойств ее проекций. Например, преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня позволит определить по соответствующей проекции ее натуральную величину.
Способы преобразования комплексного чертежа разделяют на две группы по признаку, определяющему положение фигуры и плоскостей проекций друг относительно друга или направление проецирования:
1. Изменяют положение плоскостей проекций или направление проецирования так, чтобы неподвижная в пространстве фигура оказалась в частном положении. К этой группе относят:
способ замены плоскостей проекций;
способ дополнительного проецирования.
2. Изменяют положение геометрической фигуры в пространстве так, чтобы она оказалась в частном положении относительно фиксированной системы плоскостей проекций. В эту группу включают:
способ плоскопараллельного перемещения;
способ вращения.
Задачи, решаемые с помощью способов преобразования комплексного чертежа, сводятся к следующим основным задачам, в которых необходимо преобразовать:
прямую (плоскость, цилиндрическую или призматическую поверхности) в проецирующую фигуру;
прямую (плоскую линию или плоскость) в фигуру уровня.
Рассмотрим последовательно все способы преобразования, за исключением способа дополнительного проецирования, с которым рекомендуется ознакомиться самостоятельно по учебнику .
Способ замены плоскостей проекций
Сущность способа состоит в замене первоначальной системы взаимно перпендикулярных плоскостей проекций новой системой взаимно перпендикулярных плоскостей проекций при неизменном положении геометрической фигуры в пространстве.
Для решения конкретной задачи выполняют одно или два последовательных преобразования способом замены, например, Π 1 Π 2 →Π 1 Π 4 илиΠ 1 Π 2 →Π 1 Π 4 →Π 5 Π 4 . Во втором случае преобразование называют композицией преобразований. При каждом шаге в данном способе заменяется только одна плоскость проекций, а другая остается общей для двух систем.
Рассмотрим механизм и особенности способа замены плоскостей проекций на примере преобразования комплексного чертежа точки (рис. 28).
При замене, например, фронтальной плоскости проекций Π 2 новой вертикальной плоскостьюΠ 4 горизонтальная плоскостьΠ 1 в данном случае является общей для двух систем плоскостей проекций, вследствие чего проекцияА 1 точкиА на эту плоскость является также общей для этих систем. При этом сохраняется неизменной величина расстояния (АА 1 ) от заданной точки до этой плоскости проекций и, как следствие, равенство ее проекций на плоскостиΠ 2 иΠ 4 , т. е.АА 1 =А 2 А 12 =А 4 А 14 , что позволяет выполнять на комплексном чертеже построение новой проекцииА 4 заданной точки (см рис. 28).
Еще одна особенность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что комплексный чертеж образуется совмещением плоскостей проекций с той плоскостью, которая является общей для двух систем. В рассматриваемом на рис. 28 примере такой плоскостью является горизонтальная плоскость проекций.
В качестве примера рассмотрим задачу преобразования прямой общего положения в проецирующую. Для достижения конечного результата необходимо провести замену двух плоскостей проекций, используя композицию преобразований, т. е. два последовательных преобразования (рис. 29).
Замена одной плоскости проекций, например, Π 2 наΠ 4 позволяет преобразовать прямую общего положения только в прямую уровня, так как невозможно сразу расположить новую вертикальную плоскость проекцийΠ 4 перпендикулярно заданной прямой. Далее, заменяя последовательно вторую плоскость проекцийΠ 1 наΠ 5 и располагая ее перпендикулярно прямойАВ , получаем конечный результат (см. рис. 29).
Этот метод заключается в том, что заданные в пространстве геометрические фигуры не изменяют своего положения, а в системе плоскостей проекций V и H последовательно заменяют одну, две и более плоскостей проекций. При этом вновь введёная плоскость проекций должна быть перпендикулярна остающейся плоскости проекций, а относительно плоских геометрических фигур она должна быть поставлена в такое положение, чтобы эти фигуры были параллельны или перпендикулярны по отношению к ней.
Переход от некоторой системы плоскостей проекций к новой может быть осуществлён по одной из схем:
1.
2.
Схемы показывают, что одновременно меняется только одна плоскость проекций V (или H), другая плоскость H (или V) остаётся неизменной.
1.1 Замена фронтальной плоскости проекций.
Пусть в системе плоскостей дана точка А и указаны её проекции А 1 А 2 .
Проследим как изменится положение проекций точки А, если плоскость V заменить новой плоскостью V 1 (V 1 H).
|
|
|
|
Плоскость V 1 пересекается с плоскостью Н по прямой x 1 , которая определяет новую ось проекций. Положение горизонтальной проекции А 1 точки А остаётся без изменений, так как точка А и плоскость Н не меняли своего положения в пространстве.
Для нахождения нофой фронтальной проекции точки А - А 4 достаточно спроецировать ортогонально точку А на плоскость V 1 . Расстояние новой фронтальной проекции А 4 точки А от новой оси x 1 равно расстоянию от старой фронтальной проекции А 2 точки А до старой оси х.
|А 4 х 1 |=|А 2 х|=|АА 1 |.
При построении комплексного чертежа новая плоскость проекций V 1 вращением вокруг новой оси х 1 совмещается с остающейся плоскостью Н. Направление вращения не влияет на результат решения задачи. Вращение следует делать так, чтобы новые проекции не накладывались на старые.
1.2 Замена горизонтальной плоскости проекций.
Замена горизонтальной плоскости проекций Н новой плоскостью Н 1 и построение новых проекций точки А в системеосуществляется аналогично рассмотренному случаю. Теперь без изменения остаётся фронтальная проекция точки, а для нахождения новой горизонтальной проекции А 4 точки А необходимо из старой фронтальной проекции точки опустить перпендикуляр (провести линию связи) на новую ось х 1 и отложить на нём от точки пересечения с осью х 1 отрезок равный расстоянию старой горизонтальной проекции от старой оси х.
|А 4 х 1 |=|А 1 х|=|АА 2 |.
|
|
1.3 Основные задачи замены плоскостей проекций.
Решение всех задач методом замены плоскостей проекций сводится к решению 4-х основных задач:
Первая задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы прямая общего положения стала прямой уровня.
Вторая задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы прямая уровня стала проецирующей прямой.
Решим обе задачи совместно:
Решение первой задачи: Пусть задана прямая общего положения отрезком [АВ]. Заменим плоскость V на V 1 (V 1 H)(V 1 )x 1 x 1 x 1 B 2 B x =B x1 B 4 A 2 A x =A x1 A 4 |А 4 B 4 |=|АB|- угол наклона АВ к плоскости Н.
Решение второй задачи: Заменим плоскость Н на Н 1 (Н 1 V 1)(H 1 )x 2 A x2 A 5 =B x2 B 5 =A 1 A x1 =B 1 B x1
|
|
Таким преобразованием можно решать задачи об определении истинной величины отрезка и углов наклона его к плоскостям проекций.
Совместное рассмотрение первой и второй задач позволяет решать задачи об определении:
расстояния от точки до прямой
расстояния между двумя параллельными прямыми
расстояния между скрещивающимися прямыми
Третья задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей плоскостью.
Четвёртая задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы проецирующая плоскость стала плоскостью уровня.
Решим обе задачи совместно:
Решение третьей задачи: Пусть задана плоскость общего положения Р(ABC) Заменим V на V 1 (V 1 H)(V 1 P) x 1 - угол наклона плоскости Р к плоскости Н.
Для решения целого ряда задач начертательной геометрии наиболее рациональным является метод замены плоскостей проекций. Например, с его помощью можно определить натуральную величину плоской фигуры, расстояние между параллельными прямыми, опорные точки пересечения поверхностей.
Замена одной плоскости проекции
Сущность метода заключается в замене одной из плоскостей проекций на дополнительную плоскость, выбранную так, чтобы в новой системе плоскостей решение поставленной задачи значительно упрощалось. Положение фигур в пространстве при этом не меняется.
Рассмотрим на примере точек A и B, как осуществляются построения на комплексном чертеже. Изначально точка A находится в системе плоскостей П 1 , П 2 . Введем дополнительную горизонтальную пл. П 4 . Она будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П 2 и пересечет её по оси x 1 . Эту ось необходимо провести на комплексном чертеже с учётом цели построения. Здесь мы расположили её произвольно.
В новой системе плоскостей положение точки A"" не изменится. Чтобы найти точку A" 1 , которая является проекцией т. А на плоскость П 4 , проведем из A"" перпендикуляр к оси x 1 . На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x 1 отложим отрезок A x 1 А" 1 , равный отрезку A x A".
Данные построения основаны на равенстве ординат точек A" и А" 1 . Действительно, в системе плоскостей П 1 , П 2 и в системе П 2 , П 4 точка A удалена от фронтальной плоскости проекций П 2 на одно и то же расстояние.
Теперь осуществим перевод точки B в новую систему плоскостей П 1 , П 4 (рис. ниже). Для этого введем произвольную фронтальную пл. П 4 , которая будет перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П 1 и пересечет её по оси x 1 .
В системе П 1 , П 4 положение точки B" останется неизменным. Чтобы найти точку B"" 1 , проведем из B" перпендикуляр к оси x 1 . На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x 1 отложим отрезок B x 1 B"" 1 равный отрезку B x B"". Описанные построения основаны на равенстве аппликат точек B"" и B"" 1 .
Иногда для решения поставленной задачи требуется замена двух плоскостей проекций (рис. ниже). Пусть A" и A"" – исходные проекции точки A, находящейся в системе пл. П 1 , П 2 . Введем первую дополнительную плоскость П 4 и определим новую горизонтальную проекцию A" 1 точки A, как это было описано ранее.
Для осуществления второй замены плоскости проекций будем рассматривать систему пл. П 2 , П 4 в качестве исходной. Введем новую фронтальную плоскость П 5 перпендикулярно горизонтальной пл. П 4 . Для этого на произвольном месте чертежа проведем ось x 2 = П 4 ∩ П 5 . Из точки A" 1 , положение которой останется неизменным, восстановим перпендикуляр к оси x 2 . На нем от точки A x 2 отложим отрезок A x 2 A"" 1 равный отрезку A""A x 1 .
Использование метода замены при решении задач
Владея методом замены применительно к одной точке, можно построить дополнительные проекции любых фигур, поскольку они представляют собой множество точек. На рисунке ниже показан перевод отрезка AB в частное положение. Новая плоскость П 4 проведена параллельно AB, поэтому отрезок проецируется на неё в натуральную величину.
На следующем рисунке показана плоскость общего положения α, заданная следами. Переведем её в новую систему плоскостей П 1 , П 4 так, чтобы α занимала проецирующее положение. Для этого перпендикулярно горизонтальному следу h 0 α введем дополнительную фронтальную плоскость П 4 .
Новый фронтальный след f 0 α 1 строится по двум точкам. Одна из них, X α 1 , лежит на пересечении h 0 α с осью x 1 . Дополнительно возьмем точку N, принадлежащую α, и укажем её фронтальную проекцию N"" 1 на плоскости П 4 .
Определение расстояния между параллельными плоскостями
Параллельные плоскости α и β расположены так, как показано на рисунке. Чтобы найти расстояние между ними, необходимо из произвольной точки A, взятой на пл. α, опустить перпендикуляр AB на пл. β и определить его настоящую длину.
Для уменьшения количества геометрических построений α и β предварительно переводятся в проецирующее положение с помощью метода замены плоскостей проекций. Вспомогательная точка M используется для определения направления следов f 0 β 1 и f 0α1 , параллельных друг другу.
Сущность метода замены плоскостей проекций состоит по сути в том, что одна из плоскостей проекций системы П! /П 2 (или последовательно обе) заменяется новой плоскостью, перпендикулярной к плоскости оставшейся. Положение заданных геометрических элементов в пространстве при этом не изменяется. Образуется новая система плоскостей проекций П 1 /П 4 (П 2 /П 5).
На рисунке 75 показано проецирование точки на плоскости П 4 и П 5 . Плоскость П 4 перпендикулярна плоскости П 1 .
[АА 1 ]=[А 2 А х ]=[А 4 А х1 ],ᴛ.ᴇ.
расстояние от новой фронтальной проекции до новой оси равно расстоянию от старой фронтальной проекции точки до старой оси.
Рисунок 75 Рисунок 76
При построении эпюра в новой системе, новая проекция точки А 4 и старая проекция точки А 1 (или А 5 и А 2) расположены на одном перпендикуляре к новой оси.
Пример 1. Определить длину отрезка АВ и угол наклона его к плоскости П 1 и П 2.
Решение задачи показано на рисунке 76.
Введена плоскость П 4 перпендикулярно П 1 и параллельно отрезку АВ, т. к. Х 1 параллелен А 1 В 1 . А 1 А 4 и В 1 В 4 находятся на одной линии связи перпендикулярной новой оси Х 1 . Отрезки А 2 А х =А 4 А х1 ; В 2 В х =В 4 В х1 . Отрезок[А 4 В 4 ] =[АВ] –длина отрезка.
Углы наклона показаны на чертеже. a - угол наклона к П 1; b- угол наклона к П 2.
Для решения некоторых задач требуется вводить поочередно замены двух плоскостей проекций.
Пример 2. Определить истинную величину треугольника АВС.
Последовательность решения задачи на рисунке 77.
Рисунок 77
1) Введена плоскость П 4 ┴ П 1 ; П 2 /П 1 П 4 /П 1
Плоскость П 4 перпендикулярна плоскости треугольника АВС, так, как она перпендикулярна горизонтали, проведенной в треугольнике. На плоскости П 4 проекция треугольника А 4 В 4 С 4 - прямая линия, угол - угол наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций П 1 .
[А 2 А х ]=[А 4 А х1 ]; [В 2 В х ]=[В 4 В х1 ]; [С 2 С х ]=[С 4 С х1 ].
2) Введена плоскость П 5 ┴ П 4 . П 4 /П 1 П 5 /П 4
Плоскость треугольника АВС стала параллельна плоскости П 5 т.к. Х 2 параллельна А 4 В 4 С 4 .
[А 1 А х1 ]=[А 5 А х2 ]; [В 1 В х1 ]=[В 5 В х2 ] ; [С 1 С х1 ]=[С 5 С х2 ]
Треугольник А 5 В 5 С 5 -натуральная величина треугольник а АВС.
Пример 3. Определить точку пересечения прямой МЕ с плоскостью общего положения, заданной треугольником АВС.
Последовательность решения задачи на рисунке 78.
Рисунок 78
Так как прямая ВС является горизонталью, то вспомогательная плоскость П 4 проводится перпендикулярно П 1 , а новая ось Х 1 будет перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали В 1 С 1 . Плоскость АВС станет проецирующей относительно плоскости П 4 и проецируется на нее в прямую линию А 4 В 4 С 4 . По этой причине проекция точки К 4 искомой точки пересечения прямой МЕ с плоскостью АВС будет находиться на проекции А 4 В 4 С 4 или ее продолжении. Обратный переход от системы П 1 /П 4 к исходной системе П 1 /П 2 позволяет определить проекции К 1 и К 2 точки пересечения прямой МЕ с плоскостью АВС. Относительная видимость прямой и плоскости определяется методом конкурирующих точек.
Сущность метода замены плоскостей проекций заключается в том, что одна из плоскостей проекций системы П!/П2 (или последовательно обе) заменяется новой плоскостью, перпендикулярной к плоскости оставшейся. Положение заданных геометрических элементов в пространстве при... [читать подробенее]
МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА При решении многих задач начертательной геометрии бывает целесообразно преобразовать проекции одной или нескольких фигур таким образом, чтобы они заняли частное положение относительно плоскостей: параллельное либо... [читать подробенее]
[читать подробенее]
Этот метод заключается в том, что заданные в пространстве геометрические фигуры не изменяют своего положения, а в системе плоскостей проекций V и H последовательно заменяют одну, две и более плоскостей проекций. При этом вновь введёная плоскость проекций должна быть... [читать подробенее]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА Лекция 4Решение ряда задач в начертательной геометрии значительно упрощается, когда геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Задачи на определение взаимного... [читать подробенее]
Суть метода заключается в замене одной плоскости проекции на другую. При этом сам объект четко зафиксирован в пространстве. При такой замене величина координаты любой точки на вводимой плоскости будет такой же, как координаты той же точки на заменяемой плоскости. ...
