Таблица преобразование графиков тригонометрических функций. Преобразование графика тригонометрической функции у = sin x путем сжатия и расширения гбпоу «российский колледж традиционной культуры» попова л.а. Параллельный перенос графика вдоль оси Оу

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Графики тригонометрических функций Функция у = sin x, ее свойства Преобразование графиков тригонометрических функций путем параллельного переноса Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и расширения Для любознательных…

тригонометрические функции Графиком функции у = sin x является синусоида Свойства функции: D(y) =R Периодическая (Т=2 ) Нечетная (sin(-x)=-sin x) Нули функции: у=0, sin x=0 при х =  n, n  Z y=sin x

тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 5. Промежутки знакопостоянства: У >0 при х   (0+2  n ;  +2  n) , n  Z У

тригонометрические функции Свойства функции у= sin x 6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках вида:  -  /2 +2  n ;  / 2+2  n   n  Z y = sin x

тригонометрические функции Свойства функции у= sin x Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках вида:  /2 +2  n ; 3  / 2+2  n   n  Z y=sin x

тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 7. Точки экстремума: Х мах =  / 2 +2  n , n  Z Х м in = -  / 2 +2  n , n  Z y=sin x

тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 8 . Область значений: Е(у) =  -1;1  y = sin x

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций График функции у = f (x +в) получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (-в) единиц вдоль оси абсцисс График функции у = f (x)+а получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (а) единиц вдоль оси ординат

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций Постройте график Функции у = sin(x+  /4) вспомнить правила

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y =sin (x+  /4) Постройте график функции: y=sin (x -  /6)

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y = sin x +  Постройте график функции: y =sin (x -  /6)

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y= sin x +  Постройте график функции: y=sin (x +  /2) вспомнить правила

тригонометрические функции Графиком функции у = cos x является косинусоида Перечислите свойства функции у = cos x sin(x+  /2)=cos x

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k>1) вдоль оси ординат График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при 0

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=sin2x y=sin4x Y=sin0.5x вспомнить правила

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при 0

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = cos2x y = cos 0.5x вспомнить правила

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Графики функций у = -f (kx) и у=- k f(x) получаются из графиков функций у = f(kx) и y= k f(x) соответственно путем их зеркального отображения относительно оси абсцисс синус – функция нечетная, поэтому sin(-kx) = - sin (kx) косинус –функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx)

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = - sin3x y = sin3x вспомнить правила

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=2cosx y=-2cosx вспомнить правила

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx+b) получается из графика функции у = f(x) путем его параллельного переноса на (-в /k) единиц вдоль оси абсцисс и путем сжатия в k раз (при k>1) или растяжения в k раз (при 0

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Y= cos(2x+  /3) y=cos(x+  /6) y= cos(2x+  /3) y= cos(2(x+  /6)) y= cos(2x+  /3) y= cos(2(x+  /6)) Y= cos(2x+  /3) y=cos2x вспомнить правила

тригонометрические функции Для любознательных… Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций: y = 1 / cos x или y=sec x (читается секонс) y = cosec x или y= 1/ sin x читается косеконс

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

ЦОР «Преобразование графиков тригонометрических функций» 10-11 классы

Раздел учебной программы:«Тригонометрические функции».Тип урока:цифровой образовательный ресурс комбинированного урока алгебры. По форме изложения материала:Комбинированный (универсальный) ЦОР со...

Методическая разработка урока по математике:«Преобразование графиков тригонометрических функций»

Методическая разработка урока по математике: «Преобразование графиков тригонометрических функций» для учащихся десятого класса. Урок сопровождается презентацией....

Построение графиков тригонометрических функций в 11классе

Учитель математики первой квалификационной категории МАОУ «Гимназия №37» г.Казань

Спиридонова Л.В.

• Тригонометрические функции числового аргумента
• y=sin(x)+m и y=cos(x)+m
• Построение графиков функций вида y=sin(x+t) и y=cos(x+t)
• Построение графиков функций вида y=A · sin(x) и y=A · cos(x)
• Примеры

Тригонометрические функции числового аргумента.

y=sin(x)

y=cos(x)

Построение графика функции y = sin x .

Построение графика функции y = sin x .

Построение графика функции y = sin x .

Построение графика функции y = sin x .

Свойства функции у = sin ( x ) .

всех действительных чисел ( R )

2. Областью изменений (Областью значений) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Функция у = sin ( x) нечетная, т.к. sin (- x ) = - sin x

• π .

sin (x + 2 π ) = sin(x).

5. Функция непрерывная

Убывает: [ π /2; 3 π /2 ] .

6. Возрастает: [ - π /2; π /2 ] .

+

+

+

-

-

-

Построение графика функции y = cos x .

График функции у = cos x получается переносом

графика функции у = sin x влево на π /2.

Свойства функции у = со s ( x ) .

1. Областью определения функции является множество

всех действительных чисел ( R )

2. Областью изменений (Областью значений),Е(у)= [ - 1; 1 ] .

3. Функция у = cos (х) четная, т.к. cos (- х ) = cos (х)

• Функция периодическая, с главным периодом 2 π .

cos ( х + 2 π ) = cos (х) .

5. Функция непрерывная

Убывает: [ 0 ; π ] .

6. Возрастает: [ π ; 2 π ] .

+

+

+

+

-

-

-

Построение

графиков функций вида

у = sin ( x ) + m

и

у = cos (х) + m.

0 , или вниз, если m ." width="640"

Параллельный перенос графика вдоль оси Оу

График функции y=f(x) + m получается параллельным переносом графика функции y=f(x) , вверх на m единиц, если m 0 ,

или вниз, если m .

0 y m 1 x" width="640"

Преобразование: y= sin ( x ) +m

Сдвиг у= sin ( x ) по оси y вверх, если m 0

m

0 y m 1 x" width="640"

Преобразование: y= cos ( x ) +m

Сдвиг у= cos ( x ) по оси y вверх , если m 0

m

Преобразование: y=sin ( x ) +m

Сдвиг у= sin ( x ) по оси y вниз, если m 0

m

Преобразование: y= cos ( x ) + m

Сдвиг у= cos ( x ) по оси y вниз, если m 0

m

Построение

графиков функций вида

у = sin ( x + t )

и

у = cos ( х + t )

0 и вправо, если t 0." width="640"

Параллельный перенос графика вдоль оси Ох

График функции y = f(x + t) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) по оси х на |t| единиц масштаба влево, если t 0

и вправо , если t 0.

0 y 1 x t" width="640"

Преобразование: y = sin(x + t)

сдвиг у= f(x) по оси х влево, если t 0

t

0 y 1 x t" width="640"

Преобразование: y= cos(x + t)

сдвиг у= f(x) по оси х влево, если t 0

t

Преобразование: y= sin(x + t)

сдвиг у= f(x) по оси х вправо, если t 0

t

Преобразование: y= cos(x + t)

сдвиг у= f(x) по оси х вправо, если t 0

t

0

1 и 0 а 1" width="640"

Построение графиков функций вида у = А · sin ( x ) и y = А · cos ( x ) , при а 1 и 0 а 1

1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А." width="640"

Сжатие и растяжение вдоль оси Ох

График функции у=А · f(x ) получаем растяжением графика функции у= f(x) с коэффициентом А вдоль оси Ох,если А 1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А .

1 пусть а=1,5 y 1 x -1" width="640"

Преобразование: y = a·sin ( x ), a 1

пусть а=1,5

1 пусть а=1,5 y 1 x" width="640"

Преобразование: y = a · cos ( x ), a 1

пусть а=1,5

Преобразование: y = a·sin ( x ) , 0

пусть а=0,5

Преобразование: y = a·cos ( x ), 0

пусть а=0,5



sin (

y

x

y=sin(x) → y=sin(x- π )

x

sin (

y





y

sin (

x

y

x

- 1

y=cos(x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) → y= - cos(2x)+3

x

x

x

y

y

sin

y

sin

sin

sin

y

x

y

x

- 1

y=sin(x) → y=sin(x/3) → y=sin(x/3)-2

y

x

- 1

y=sin(x) → y=2sin(x) → y=2sin(x)-1







y

y

 

 

 

y

cos

y

cos x + 2

x

cos x + 2

cos x

y

x

- 1

y= cos(x) → y=1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) +2

y

x

- 1

y=cos (x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) →

Алгоритм построения графиков График функции y = sin (x-a) можно получить параллельным переносом графика функции y = sinx вдоль оси Ох на а единиц вправо. График функции y = sin (x+a) можно получить параллельным переносом графика функции y = sinx вдоль оси Ох на а единиц влево.

0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 00) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 0 7 Алгоритм построения графиков График функции y = sin (Кx) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 01 сжатием в К раз) вдоль оси Ох. 0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 0 0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 01 сжатием в К раз) вдоль оси Ох."> 0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 00) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 0 title="Алгоритм построения графиков График функции y = sin (Кx) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при 0

8 Сжатие и растяжение к оси ординат Построить график функции у = sin2 х Построить график функции у = sin K > 1 сжатие 0 1 сжатие 0 1 сжатие 0 1 сжатие 0 1 сжатие 0 title="8 Сжатие и растяжение к оси ординат Построить график функции у = sin2 х Построить график функции у = sin K > 1 сжатие 0

0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с" title="Алгоритм построения графиков: График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с" class="link_thumb"> 9 Алгоритм построения графиков: График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его сжатием (при 01 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с"> 0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его сжатием (при 01 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с" title="Алгоритм построения графиков: График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с"> title="Алгоритм построения графиков: График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sin x его растяжением (при К>1 растяжением в К раз) вдоль оси Оу. График функции y = Кsin (x) (К>0) можно получить из графика функции y = sinx его с">

1 растяжение 0 1 растяжение 0 10 10 Сжатие и растяжение к оси абсцисс K > 1 растяжение 0 1 растяжение 0 1 растяжение 0 1 растяжение 0 1 растяжение 0 title="10 Сжатие и растяжение к оси абсцисс K > 1 растяжение 0

13 Сдвиг вдоль оси ординат Построить график функции у=sins+3 Построить график функции у=sins-3 + вверх - вниз y = sinx y = sinx + 3 y = sinx y = sinx Преобразование графика

X y 1 -2 Проверка: y 1 = sinx; у 2 = sinx + 2; у 3 = sinx

Урок 24. Преобразования графиков тригонометрических функций

09.07.2015 5528 0

Цель: рассмотреть наиболее распространенные преобразования графиков тригонометрических функций.

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

sin х.

2. Найдите основной период функции:

3. Постройте график функции

Вариант 2

1. Основные свойства и график функции у = cos х.

2. Найдите основной период функции:

3. Постройте график функции

III. Изучение нового материала

Все преобразования графиков функций, изложенные подробно в главе 1, являются универсальными - они пригодны для всех функций, в том числе и тригонометрических. Поэтому рекомендуем повторить эту тему. Здесь же ограничимся кратким напоминанием основных преобразований графиков.

1. Для построения графика функции у = f (x ) + b надо перенести график функции на | b | единиц вдоль оси ординат - вверх при b > 0 и вниз при b < 0.

2. Для построения графика функции y = mf (x ) (где m > 0) надо растянуть график функции у = f (x ) в m раз вдоль оси ординат. Причем для m > 1 происходит действительно растяжение в m раз, для 0 < m < 1 - сжатие в 1/ m раз.

3. Для построения графика функции у = f (x + a ) надо перенести график функции на | a | единиц вдоль оси абсцисс - вправо при а < 0 и влево при а > 0.

4. Для построения графика функции у = f (kx ) (где к > 0) надо сжать график функции у = f (x ) в k раз вдоль оси абсцисс. Причем для k > 1 происходит действительно сжатие в к раз, для 0 < k < 1 – растяжение в 1/ k раз.

5. Для построения графика функции у = - f (x ) надо график функции y = f (x ) отразить относительно оси абсцисс (это преобразование - частный случай преобразования 2 для m = -1).

6. Для построения графика функции у = f (-х) надо график функции y = f (x ) отразить относительно оси ординат (это преобразование - частный случай преобразования 4 для k = -1).

Пример 1

Построим график функции у = - cos 3 x + 2.

В соответствии с правилом 5 надо график функции у = cos x отразить относительно оси абсцисс. По правилу 3 этот график надо сжать в три раза вдоль оси абсцисс. Наконец, такой график по правилу 1 надо поднять вверх на три единицы вдоль оси ординат.

Полезно также напомнить правила преобразования графиков с модулями.

1. Для построения графика функции y = | f (х)| надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой у ≥ 0. Ту часть графика у = f (x ), для которой у < 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2. Для построения графика функции у = f (|х|) надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой х ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить влево относительно оси ординат.

3. Для построения графика уравнения |у| = f (х) надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой у ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить вниз относительно оси абсцисс.

Пример 2

Построим график уравнения |у| = sin | x |.

Построим график функции у = sin x для x ≥ 0. Этот график по правилу 2 отразим влево относительно оси ординат. Сохраним части такого графика, для которых у ≥ 0. По правилу 3 эти части симметрично отразим вниз относительно оси абсцисс.

В более сложных случаях знаки модуля необходимо раскрывать.

Пример 3

Построим график сложной функции у = cos (2 x + |х|).

Напомним, что аргумент функции косинуса представляет собой функцию переменной х, и поэтому данная функция является сложной. Раскроем знак модуля и получим: Для двух таких промежутков построим график функции y (x ). Учтем, что при х ≥ 0 график функции у = cos 3 x получается из графика функции у = cos х сжатием в 3 раза вдоль оси абсцисс.

Пример 4

Построим график функции

Используя формулу квадрата разности, запишем функцию в виде График функции состоит из двух частей. При х > 0 надо построить график функции у = 1 - cos х. Он получается из графика функции у = cos x отражением относительно оси абсцисс и смещением на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.

При х ≥ 0 строим график функции у = (x -1)2 - 1. Он получается из графика функции у = x 2 смещением на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс и на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.

IV. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Правила преобразований графиков функций.

2. Преобразования графиков с модулями.

V. Задание на уроке

§ 13, № 2 (а, б); 3; 5; 7 (в, г); 8 (а, б); 9 (а); 10 (б); 11 (а, б); 13 (в, г); 14; 17 (а, б); 19 (б); 20 (а, в).

VI. Задание на дом

§ 13, № 2 (в, г); 4; 6; 7 (а, б); 8 (в, г); 9 (б); 10 (а); 11 (в, г); 13 (а, б); 15; 17 (в, г); 19 (а); 20 (б, г).

VII. Творческое задание

Постройте график функции, уравнения, неравенства:

VIII. Подведение итогов урока

АЛГЕБРА
Уроки для 10 классов

Тема. Построение графиков тригонометрических функций

Цель урока: построение графиков функций у = sin х, у = cos x , у = tg х, у = ctg x.

Формирование умений строить графики функций: у = Asin (kx + b ), у = Acos (kx + b ), у = Atg (kx + b ), у = Actg (kx + b ).

И. Проверка домашнего задания

1. Один ученик воспроизводит решение упражнения № 24 (1-3).

2. Фронтальная беседа:

1) Назовите явления в природе, которые периодически повторяются.

2) Дайте определение периодической функции.

3) Если функция у = f (x ) имеет периодом число Т, то будет периодом этой функции число 2Т, 3T ...? Ответ обоснуйте.

4) Найдите наименьший положительный период функций:

a ) y = cos ; б) y = sin ; в) у = tg ; г) у = .

5) периодическая функция у = С? Если да, то укажите период этой функции.

II. Построение графика функции у = sin х

Для построения графика функции у = sin x воспользуемся единичным кругом. Построим единичный круг радиусом 1 см (2 клетки). Справа построим систему координат, как на рис. 57.

На ось ОХ нанесем точки ; π ; ; 2 π (соответственно 3 ячейки, 6 ячеек 9 ячеек, 12 ячеек). Разделим первую четверть единичного круга на три равные части и на столько же частей отрезок оси абсцисс. Перенесем значение синуса до соответствующих точек оси ОХ. Получим точки, которые надо соединить плавной линией. Затем разделим вторую, третью и четвертую четверть единичного круга также на три равные части и перенесем значение синуса до соответствующей точки оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = sin х на промежутке .

За то что функция у = sin x периодическая с периодом 2 π , то для построения графика функции у = sin x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на 2 π , 4 π , 6 π ... единиц влево и вправо (рис. 58).

Кривая, которая является графиком функции у = sin x , называют синусоидой.

Выполнение упражнений______________________________

1. Постройте графики функций.

а) у = sin ; б) у = sin 2х; в) у = 2 sin х; г) у = sin (-x).

Ответы: а) рис. 59; б) рис. 60; в) рис. 61; г) рис. 62.

III . Построение графика функции у = cos x

Как известно, cos х = sin , поэтому у = cos x и у = sin - одинаковые функции. Для построения графика функции у = sin воспользуемся геометрич-ими преобразованиями графиков: сначала построим (рис. 63) график функции у = sin х, затем у = sin (-х) и в конце у = sin .

Выполнение упражнений________________________________

1. Постройте графики функций:

a ) y = cos ; б) y = cos ; в) y =cos х; г) у = | cos x |.

Ответ: а) рис. 64; б) рис. 65; в) рис. 66; г) рис. 67.

IV. Построение графика функции у = tg x

График функции у = tg x построим с помощью линии тангенсов на промежутке , длина которого равна периоду π этой функции. Построим единичный круг радиусом 2 см (4 ячейки) и проведем линию тангенсов. Справа построим систему координат, как на рис. 68.

На ось ОХ нанесем точки ; (6 ячеек). Разделим первую и четвертую четверть окружности на 3 равные части и на столько же частей каждый из отрезков и . Найдем значения тангенсов чисел ; ; 0; ; с помощью линии тангенсов (ординаты точек ; ; ; ; линии тангенсов). Перенесем значения тангенсов до соответствующих точек оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = tg x на промежутке .

За то что функция у = tg x периодическая с периодом π, для построения графика функции у = tg x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на π , 2 π , 3 π , 4 π ... единиц влево и вправо (рис. 69).

График функции у = tg x называется тангенсоїдою.

Выполнение упражнений

1. Постройте график функций

а) у = tg 2х; б) у = t gx ; в) у = tg x + 2; г) у = tg (-x).

Ответы: а) рис. 70; б) рис. 71; в) рис. 72; г) рис. 73.

V. Построение графика функции у = ctg x

График функции у = ctg x легко получить, воспользовавшись формулой ctg x = tg и двумя геометрическими преобразованиями (рис. 74) симметрия относительно оси ΟΥ параллельный перенос вдоль оси ОХ на .

IV. Домашнее задание

Раздел И § 6. Вопросы и задания для повторения раздела И № 50-51. Упражнения № 28 (а-г).

V. Итог урока