Линейная функция, её свойства и график. Линейная функция. Теория. Разбор задач Свойства линейной функции

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.

В частном случае, если k = 0 , получим постоянную функцию y = b , график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b) .

Если b = 0 , то получим функцию y = kx , которая является прямой пропорциональностью.

b – длина отрезка , который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) Если k ≠ 0 , то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0 , то область значений линейной функции состоит из числа b ;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b .

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k , следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy: y = 0k + b = b , следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание.Если b = 0 и k = 0 , то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х . Если b ≠ 0 и k = 0 , то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х .

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞) ,

y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k) .

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k) ,

y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞) .

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k .

k > 0 , следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0 , следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b . Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует.

Определение линейной функции

Введем определение линейной функции

Определение

Функция вида $y=kx+b$, где $k$ отлично от нуля называется линейной функцией.

График линейной функции -- прямая. Число $k$ называется угловым коэффициентом прямой.

При $b=0$ линейная функция называется функцией прямой пропорциональности $y=kx$.

Рассмотрим рисунок 1.

Рис. 1. Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Рассмотрим треугольник АВС. Видим, что$ВС=kx_0+b$. Найдем точку пересечения прямой $y=kx+b$ с осью $Ox$:

\ \

Значит $AC=x_0+\frac{b}{k}$. Найдем отношение этих сторон:

\[\frac{BC}{AC}=\frac{kx_0+b}{x_0+\frac{b}{k}}=\frac{k(kx_0+b)}{{kx}_0+b}=k\]

С другой стороны $\frac{BC}{AC}=tg\angle A$.

Таким образом, можно сделать следующий вывод:

Вывод

Геометрический смысл коэффициента $k$. Угловой коэффициент прямой $k$ равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси $Ox$.

Исследование линейной функции $f\left(x\right)=kx+b$ и её график

Вначале рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx+b$, где $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)={\left(kx+b\right)}"=k>0$. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
2. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=+\infty $
3. График (рис. 2).

Рис. 2. Графики функции $y=kx+b$, при $k > 0$.

Теперь рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k

1. Область определения -- все числа.
2. Область значения -- все числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функция не является ни четной, ни нечетной.
4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.

Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)={\left(kx\right)}"=k
2. $f^{""}\left(x\right)=k"=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
3. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=-\infty $
4. График (рис. 3).

С чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Если все переменные x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} и коэффициенты a 0 , a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} - вещественные числа, то графиком линейной функции в (n + 1) {\displaystyle (n+1)} -мерном пространстве переменных x 1 , x 2 , … , x n , y {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y} является n {\displaystyle n} -мерная гиперплоскость

  y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n {\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

  в частности при n = 1 {\displaystyle n=1} - прямая линия на плоскости.

  Абстрактная алгебра

  Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X {\displaystyle X} над некоторым полем k {\displaystyle k} в это поле, то есть для такого отображения f: X → k {\displaystyle f:X\to k} , что для любых элементов x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} и любых α , β ∈ k {\displaystyle \alpha ,\beta \in k} справедливо равенство

  f (α x + β y) = α f (x) + β f (y) {\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}

  причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма - также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

  Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
  Графиком линейной функции является прямая.

  1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

  Например, чтобы построить график функции y= ⅓ x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3. Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓ x+2:
  

  2. В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
  если k>0, то функция y=kx+b возрастает
  если k
  Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
  если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
  если b
  На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3
  

  

  Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.

  Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

  Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

  

  На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

  Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3

  

  Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.

  Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
  График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
  График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
  График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)

  Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
  Если k 0

  

  Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:

  

  Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:

  

  Если k, то график функции y=kx+b имеет вид:

  

  Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:

  

  Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:

  

  3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.

  Например, график уравнения x=3 выглядит так:
  Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.

  

  
  

  4. Условие параллельности двух прямых:

  График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2

  5. Условие перепендикулярности двух прямых:

  График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2

  6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.

  С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

  С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):

  Понятие числовой функции. Способы задания функции. Свойства функций.

  Числовая функция - функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество).

  Три главных способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

  1. Аналитический.

  Способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим. Этот способ является основным в мат. анализе, но на практике не удобен.

  2. Табличный способ задания функции.

  Функцию можно задать с помощью таблицы, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции.

  3. Графический способ задания функции.

  Функция у=f(х) называется заданной графически, если построен ее график. Такой способ задания функции дает возможность определять значения функции только приближенно, так как построение графика и нахождение на нем значений функции сопряжено с погрешностями.

  Свойства функции, которые необходимо учитывать при построении её графика:

  1)Область определения функции.

  Область определения функции, то есть те значения, которые может принимать аргумент х функции F =y (x).

  2) Промежутки возрастания и убывания функции.

  Функция называется возрастающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 > х 2 , то у(х 1) > у(х 2).

  Функция называется убывающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х 1 и х 2 , причём х 1 < х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

  3) Нули функции.

  Точки, в которых функция F = y (x) пересекает ось абсцисс (они получаются, если решить уравнение у(х) = 0) и называются нулями функции.

  4)Чётность и нечётность функции.

  Функция называется чётной, если для всех значений аргумента из области определения

  
  
  

  у(-х) = у(х).

  График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

  Функция называется нечётной , если для всех значений аргумента из области определения

  у(-х) = -у(х).

  График чётной функции симметричен относительно начала координат.

  Многие функции не являются ни чётными, ни нечётными.

  5)Периодичность функции.

  Функция называется периодической, если существует такое число Р, что для всех значений аргумента из области определения

  у(х + Р) = у(х).

  
  

  Линейная функция, её свойства и график.

  Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел.

  k – угловой коэффициент (действительное число)

  b – свободный член (действительное число)

  x – независимая переменная.

  · В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).

  · Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.

  o Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

  o Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

  Свойства линейной функции:

  1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

  2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось.

  Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;

  3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.

  a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

  b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

  c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

  d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

  4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

  5) Точки пересечения с осями координат:

  Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

  Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

  Замечание. Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.

  6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

  a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

  y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),

  y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).

  b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

  y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),

  y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).

  c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

  k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

  7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.

  k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

  k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

  11. Функция у = ах 2 + bх + с, её свойства и график.

  Функция у = ах 2 + bх + с (а, b, с - постоянные величины, а ≠ 0) называется квадратичной. В простейшем случае у = ах 2 (b = с = 0) график есть кривая линия, проходящая через начало координат. Кривая, служащая графиком функции у = ах 2 , есть парабола. Каждая парабола имеет ось симметрии, называемую осью параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы .

  График можно строить по следующей схеме: 1) Находим координаты вершины параболы х 0 = -b/2a; у 0 = у(х 0). 2) Строим еще несколько точек, которые принадлежат параболе, при построении можно использовать симметрии параболы относительно прямой х = -b/2a. 3) Соединяем обозначены точки плавной линией. Пример. Построить график функции в = х 2 + 2х - 3. Решения. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Абсцисса вершины параболы х 0 = 2/(2 ∙1) = -1, ее ординаты y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Итак, вершина параболы - точка (-1; -4). Составим таблицу значений для нескольких точек, которые размещены справа от оси симметрии параболы - прямой х = -1. Свойства функции.