Первая формула ньютона. Интерполяционные формулы ньютона. Схема алгоритма интерполяции по формуле Лагранжа с заданной точностью

Вторая формула Ньютона обладает аналогичными свойствами относительно левой части таблицы. Для ее построения используют многочлен вида:

P n (x)=a 0 + a 1 (x-x n) + a 2 (x-x n)(x-x n-1) + …+ a n (x-x n)(x-x n-1)…(x-x 1), (6.3.3-8)

где а i , i = 0, 1, 2, …, n – коэффициенты, не зависящие от узлов интерполяции.

Для определения коэффициентов а i будем в (6.3.3-8) поочередно подставлять узлы интерполяции. При х = x n P n (x n) = y n , следовательно, a 0 = y n .

При х = x n -1 имеем P n (x n -1) = y n -1 = a 0 + a 1 (x n -1 -x n) = y n + a 1 (x n -1 -x n), откуда

Продолжая подстановку, получим выражение для всех коэффициентов многочлена (6.3.3-8) и запишем вторую интерполяционную формулу Ньютона:

Введя обозначение:

и, подставив х в (6.3.3-8), получаем формулу Ньютона для интерполяции назад:

Воспользуемся этой формулой для вычисления значения функции, заданной таблицей 6.3.3-1, в точке х = 1.7.

Точка х=1.7 расположена в конце таблицы. В качестве узлов интерполяции выберем: х 3 =1.8, х 2 =1.6 и х 1 =1.4:

Погрешности интерполяционных формул Ньютона определяются соотношением:

· для первой формулы Ньютона:

(6.3.3-11)

· для второй формулы Ньютона:

(6.3.3-12)

где - некоторое промежуточное значение между узлами интерполяции.

На практике, если интерполируемая функция y = f(x) задана таблично , полагая, что D n +1 = const, а h –достаточно мало, используют приближенные равенства:

(6.3.3-13)

Пример 6.3.3-1. Вычислить c использованием 1-й и 2-й формул Ньютона значение функции, заданной таблицей равноотстоящих узлов, в точке х=1.23.

Практическая погрешность оценивается соотношением:

e 1 = |Р 2 (х) - Р 1 (х)|=|0.206958-0.206335|=0.000623.

Решим ту же задачу с помощью 2-й формулы Ньютона. Пусть х n = 1.3; х n -1 = 1.2; х n -2 = 1.1.

Таблица конечных разностей имеет вид:

x	y	Dy	D 2 y
1.1 1.2 1.3	0.095310 0.182322 0.262364	0.087012 0.080042	-0.006970

Тогда:

6.3.4. Сплайн – интерполяция

В последние годы интенсивно развивается новый раздел современной вычислительной математики – теория сплайнов . Сплайны позволяют эффективно решать задачи обработки экспериментальных зависимостей между параметрами, имеющими достаточно сложную структуру.

Рассмотренные выше методы локальной интерполяции, по существу, являются простейшими сплайнами первой степени (для линейной интерполяции) и второй степени (для квадратичной интерполяции).

Наиболее широкое практическое применение, в силу их простоты, нашли кубические сплайны. Основные идеи теории кубических сплайнов сформировались в результате попыток математически описать гибкие рейки из упругого материала (механические сплайны), которыми издавна пользовались чертежники в тех случаях, когда возникала необходимость проведения через заданные точки достаточно гладкой кривой. Известно, что рейка из упругого материала, закрепленная в некоторых точках и находящаяся в положении равновесия, принимает форму, при которой ее энергия является минимальной. Это фундаментальное свойство позволяет эффективно использовать сплайны при решении практических задач обработки экспериментальной информации.

В общем случае для функции y = f(x) требуется найти приближение y = S(x) таким образом, чтобыf(x i) = S(x i) в точках x = x i , a в остальных точках отрезка значения функций f(x) и S(x) были близкими между собой. При малом числе экспериментальных точек для решения задачи интерполяции можно использовать один из методов построения интерполяционных полиномов. Однако при большом числе узлов интерполяционные полиномы становятся практически непригодными. Это связано с тем, что степень интерполяционного полинома лишь на единицу меньше числа экспериментальных значений функций. Можно, конечно, отрезок, на котором определена функция, разбить на участки, содержащие малое число экспериментальных точек, и для каждого из них построить интерполяционные полиномы. Однако в этом случае аппроксимирующая функция будет иметь точки, где производная не является непрерывной, т. е. график функции будет содержать точки “излома”.

Кубические сплайны лишены этого недостатка. Исследования показали, что гибкая тонкая линейка между двумя узлами достаточно хорошо описывается кубическим полиномом, и поскольку она не разрушается, то аппроксимирующая функция должна быть, по меньшей мере, непрерывно дифференцируемой.

Таким образом, сплайн – это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.

Пусть интерполируемая функция f(x)задана своими значениями y i , в узлах х i,
(i = 0, 1,...,n). Обозначим длину частичного отрезка как h i =x i -x i-1 ,
(i = 1, 2,...,n). Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков [х i-1 ;х i ] в виде:

где - четверка неизвестных коэффициентов. Можно доказать, что задача нахождения кубического сплайна имеет единственное решение.

Потребуем совпадения значений S(x)в узлах с табличными значениями функции f(x):

(6.3.4-2)

Число этих уравнений (2n) в два раза меньше числа неизвестных коэффициентов. Для того чтобы получить дополнительные условия, потребуем также непрерывности первой и второй производных сплайна во всех точках, включая узлы. Для этого следует приравнять левые и правые производные S"(x–0), S"(x+0), S"(x–0), S"(x+0) во внутреннем узле x i .

Вычислим выражения для производных S"(x), S"(x)последовательным дифференцированием (6.3.4-1):

S"(x) = b i + 2c i (x–x i-1) + 3d i (x–x i - l) 2 , (6.3.4-4)

S""(x) = 2c i + 6d i (x–x i - l),(6.3.4-5)

найдем правые и левые производные в узле:

S"(x i –0) = b i + 2сh i + 2d i h i ,

S"(x i +0) = b i+1 , где i = 1,2,..., n -1.

Аналогично поступаем для второй производной:

S"(x–0) = 2c i +6d i h i ,

S"(х+0) = 2с i+1 .

Приравняв левые и правые производные, получаем:

b i +1 = b i +2c i h i +2d i h i 2 (6.3.4-6)

с i+1 = с i - + 3d i h i , где i = 0, 1,..., n–1. (6.3.4-7)

Уравнения (6.3.4-6), (6.3.4-7) дают еще 2(n–1) условий. Для получения недостающих уравнений накладывают требования к поведению сплайна на концах отрезка интерполяции. Если потребовать нулевой кривизны сплайна на концах отрезка интерполяции (т. е. равенство нулю второй производной), то получим:

с i =0, c n +3d n h n = 0. (6.3.4-8)

Исключив из уравнений (6.3.4-2) – (6.3.4-3) nнеизвестных a i , получаем систе­му уравнений:

(6.3.4-9)

где i=0, 1,...., n - 1.

Система (6.3.4-9) состоит из 3(n-1)уравнений. Решив систему (6.3.4-9), получаем значения неизвестных b i , c i , d i ,определяющих совокупность всех формул для искомого интерполяционного сплайна:

где i = 0,1,...,n–1.(6.3.4-10)

Программа, реализующая метод сплайн-интерполяции, доста­точно громоздка, поэтому ограничимся обсуждением решения задачи об интерполяции синуса с помощью сплайнов, используя функции пакетов п.п. 6.3.6.

2. Интерполяция по Ньютону

Дана табличная функция:

i
0
1
2
..	..	..
n

Точки с координатами называются узловыми точками или узлами.

Количество узлов в табличной функции равно N=n+1.

Необходимо найти значение этой функции в промежуточной точке, например, , причем . Для решения задачи используется интерполяционный многочлен.

Интерполяционный многочлен по формуле Ньютона имеет вид:

где n – степень многочлена,

Интерполяционная формула Ньютона формула позволяет выразить интерполяционный многочлен через значение в одном из узлов и через разделенные разности функции , построенные по узлам .

Сначала приведем необходимые сведения о разделенных разностях.

Пусть в узлах

известны значения функции . Предположим, что среди точек , , нет совпадающих. Разделенными разностями первого порядка называются отношения

, ,.

Будем рассматривать разделенные разности, составленные по соседним узлам, т. е. выражения

По этим разделенным разностям первого порядка можно построить разделенные разности второго порядка:

,

,

Таким образом, разделённая разность -го порядка на участке может быть определена через разделённые разности -го порядка по рекуррентной формуле:

где , , - степень многочлена.

Максимальное значение равно . Тогда и разделенная разность n-го порядка на участке равна

т.е. равна разности разделенных разностей -го порядка, разделенной на длину участка .

Разделенные разности

являются вполне определенными числами, поэтому выражение (1) действительно является алгебраическим многочленом -й степени. При этом в многочлене (1) все разделенные разности определены для участков , .

При вычислении разделенных разностей принято записывать их в виде таблицы

■

Разделенная разность -го порядка следующим образом выражается через значения функции в узлах:

. (1)

Эту формулу можно доказать методом индукции. Нам потребуется частный случай формулы (1):

Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен

Рассмотренная форма полинома Ньютона носит название первой интерполяционной формулы Ньютона, и используется, обычно, при интерполировании вначале таблицы.

Заметим, что решение задачи интерполяции по Ньютону имеет некоторые преимущества по сравнению с решением задачи интерполяции по Лагранжу. Каждое слагаемое интерполяционного многочлена Лагранжа зависит от всех значений табличной функции y i , i=0,1,…n. Поэтому при изменении количества узловых точек N и степени многочлена n (n=N-1) интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново. В многочлене Ньютона при изменении количества узловых точек N и степени многочлена n требуется только добавить или отбросить соответствующее число стандартных слагаемых в формуле Ньютона (2). Это удобно на практике и ускоряет процесс вычислений.

Программирование функции формулы Ньютона

Для построения многочлена Ньютона по формуле (1) организуем циклический вычислительный процесс по . При этом на каждом шаге поиска находим разделенные разности k-го порядка. Будем помещать разделенные разности на каждом шаге в массив Y.

Тогда рекуррентная формула (3) будет иметь вид:

В формуле Ньютона (2) используются разделенные разности -го порядка, подсчитанные только для участков т.е. разделенные разности -го порядка для . Обозначим эти разделенные разности k-го порядка как . А разделенные разности, подсчитанные для , используются для расчетов разделенных разностей более высоких порядков.

Используя (4), свернем формулу (2). В результате получим

(5)

– значение табличной функции (1) для .

– разделенная разность -го порядка для участка .

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

Пусть функция у = f (x ) задана на сетке равноотстоящих узлов x i =x 0 +ih, где i = 0,1, ..., п, и для нее построена таблица конечных разностей § 16.3.

В соответствии с тем, что было сказано о направлении модификации интерполяционной формулы Лагранжа в начале предыдущего параграфа, будем строить интерполяционный многочлен Р п (х ) в форме

Р n (х ) = а 0 +а 1 (х-х 0 ) + а 2 (х-х 0)(х-х 1)+... + а n (х-х 0)( х-х 1) … (х-х n - 1). (17.1)

Его п+ 1 коэффициент а 0 , а 1 , ..., а n будем находить последовательно из п +1 интерполяционных равенств

Р n (х i ) =y i , i = 0,1, ..., п .

А именно, полагая i = 0, т.е. х = х 0 , в (1.23) имеем Р n (х 0 ) = а 0 , следовательно, а 0 = у 0 .

а 0 +а 1 (х- х 0 )=y 1 ,

в которое подставляем уже найденное значение а 0 = у 0 . Разрешая это равенство относительно а 1 и используя обозначение конечной разности, получаем

Полной индукцией можно показать справедливость выражения

Подставляя найденные коэффициенты а 0 , а 1 , ..., а n в (17.1), получаем многочлен

который называют первым интерполяционным многочленом Ньютона.

Учитывая, что каждое слагаемое многочлена (17.2), начиная со второго, содержит множитель х- х 0 , естественно предположить, что этот многочлен наиболее приспособлен для интерполирования в окрестности узла х 0 . Будем называть узел х 0 базовым для многочлена (17.2) и упростим (17.2) введением новой переменной q райенством или (что то же) равенством x = x 0 +qh. Так как

x - x i = x 0 + qh - x 0 - ih= h (q- i ),

то в результате подстановки этих разностей в (17.2) приходим к первой интерполяционной формуле Ньютона в виде

где обозначение Р n (x 0 + qh ) указывает не только на n -ю степень многочлена, но и на базовый узел x 0 и связь переменных х и q.

Первая формула Ньютона (17.3) обычно применяется при значениях |q | < 1, а именно, для интерполирования вперед (при х Î (х 0 , x 1), т.е. при q Î (0, 1)) и экстраполирования назад (при х < х 0 т.е. при q < 0).

Так как реально степени интерполяционных многочленов бывают не так велики, в то время как таблицы значений функций достаточно обширны, и так как в реальной числовой таблице никаких индексов - номеров узлов нет, то за базовый для формулы (17.3) узел х 0 можно принимать узел, ближайший к заданной фиксированной точке х, если за ним имеется достаточное число узлов для построения необходимых разностей. Поскольку в первой формуле Ньютона используются нисходящие диагонали таблицы конечных разностей, то такое смещение узла, принимаемого за базовый, в конце таблицы будет неприемлемо.

Учет этого обстоятельства приводит к потребности в симметричной, в определенном смысле, для (17.3) формулы, которая была бы пригодной для интерполирования в конце таблицы. Для этого, в отличие от (17.1), форма интерполяционного многочлена Р n (х ) берется такой, которая предусматривает поочередное подключение узлов в обратном порядке: сначала последний, потом предпоследний и т.д., т.е.

Р (х ) = а 0 +а 1 (х-х n ) + а 2 (х-х n )(х-х n - 1)+... + а n (х-х n )( х-х n - 1)…(х-х 1).

Коэффициенты а 0 , а 1 , ..., а n этого многочлена находятся аналогично тому, как они находились для многочлена (17.1), только здесь подстановка узловых точек вместо х и рассмотрение интерполяционных равенств производится тоже в обратном порядке.

Таким образом, получаем второй интерполяционный многочлен Ньютона

в котором базовым является узел х n и коэффициенты которого определяются конечными разностями, расположенными на восходящей от у n диагонали.

Положим в (17.4) x = x n +qh, иначе, введем новую перемен и преобразуем к ней входящие в (17.4) разности:

x - x i = x n + qh - x 0 - ih= x 0 + nh + qh - x 0 - ih= h (q+n- i )

В результате приходим ко второй интерполяционной формуле Ньютона вида

Ее также целесообразно использовать при значениях |q | < 1, т.е. в окрестности узла х п для интерполирования назад (при q Î (-1, 0)) и экстраполирования вперед (при q > О).

Наряду с выведенными специально для начала и конца таблицы первой и второй интерполяционными формулами Ньютона имеется еще несколько формул, рассчитанных на их применение в центральной части таблицы и потому называемых центральными интерполяционными формулами. Прежде, чем определять эти формулы, введем понятие центральных разностей.

Будем считать, что узел x 0 расположен в середине таблицы, и нумерация остальных узлов производится, начинаясь с х 0 , с использованием как положительных, так и отрицательных индексов, т.е. считаем x i =x 0 +ih, где i = 0, ±1, ±2,... . Тогда центральная часть таблицы конечных разностей будет проиндексирована так, как это показано в табл. 1.7. Все подчеркнутые в ней конечные разности (находящиеся с XQ,y Q в одной строке и на полстроки выше и ниже) называются центральными разностями.

x - 3 y - 3 Dy - 3

x - 2 y - 3 Dy - 2 D 2 y - 3 D 3 y - 3

x - 1 y - 1 D y - 1 D 2 y - 2 D 3 y - 2 D 4 y - 3 D 5 y - 3

x 0 y 0 D y 0 D 2 y - 1 D 3 y - 1 D 4 y - 2 D 5 y - 2 D 6 y - 3

x 1 y 1 Dy 1 D 2 y 0 D 3 y 0 D 4 y - 1

x 2 y 2 Dy 2 D 2 y 1

x 3 y 3

Интерполяционный многочлен ищем в форме

Р (х ) = а 0 +а 1 (х-х 0) + а 2 (х-х 0)(х-х 1)+ а 3 ( х-х - 1) (х-х 0)(х-х 1)+

+а 4 ( х-х - 1) (х-х 0)(х-х 1)( х-х 2)+… .

Коэффициенты ищем, как и прежде. Введя новую переменную и выразив через нее разности x - x i = h (q- i ) для всех i = 0, ±1, ±2, ..., в результате подстановки этих разностей и выражений коэффициентов после преобразований приводит к формуле

называемой интерполяционной формулой Стирлинга.

Рассмотрим вопрос о том, как могут быть трансформированы остаточный член и его оценки при конечноразностной интерполяции.

Известно, что все построенные здесь конечноразностные интерполяционные многочлены Ньютона и Стирлинга - это всего лишь различные формы представления интерполяционного многочлена Лагранжа. Следовательно, для всех этих форм справедливо выражение остаточного члена (16.7).

Для первого интерполяционного многочлена Ньютона в форме (17.3) погрешность может быть записана следующим образом

Для второго интерполяционного многочлена Ньютона в форме (17.5) погрешность может быть записана следующим образом

Рассмотрим понятие конечных разностей.

Пусть задана функция у=f{x) на отрезке [х 0 , х„], который разбит на п одинаковых отрезков (случай равноотстоящих значений аргумента): Ax=h = const. Для каждого узла х 0 , х, =х 0 + /г, ..., х„ =х () + п h определены значения функции в виде

Введем понятие конечных разностей.

Конечные разности первого порядка

Конечные разности второго порядка Аналогично определяются конечные разности высших порядков:

Конечные разности функций удобно располагать в таблицах, которые могут быть диагональными (табл. 5.1) или горизонтальными (табл. 5.2).

Диагональная таблица

Таблица 5.1

Горизонтальная таблица

Таблица 5.2

						а 5 у,
						А 5 Уо
					а 4 у.

Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции у=/(х) заданы значения у, =/(х,) для равностоящих значений независимых переменных:

где h - шаг интерполяции.

Необходимо найти полином Р„{х) степени нс выше п, принимающий в точках (узлах) х, значения:

Интерполирующий полином ищется в виде:

Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов а, из условий:

Полагаем в (5.13) х=х 0 , т. к. второе, третье и другие слагаемые равны 0, то

Найдем коэффициент а { .

Приэс=Х1 получим:

Для определения а 2 составим конечную разность второго порядка. При х=х 2 получим:

Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид:

Подставляя эти выражения в формулу (5.13), получаем:

где х„ у х - узлы интерполяции; х - текущая переменная; h - разность между двумя узлами интерполяции; h - величина постоянная, т. е. узлы интерполяции равно отстоят друг от друга.

Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона для интерполяции в начале таблицы (интерполирование «вперед»), или первым полиномом Ньютона.

Для практического использования этот полином записывают в преобразованном виде, вводя обозначение t=(х - x 0)/h, тогда

Эта формула применима для вычисления значений функции для значений аргументов, близких к началу интервала интерполирования.

Блок-схема алгоритма метода Ньютона для интерполирования «вперед» приведена на рис. 5.3, программа - в приложении.

Пример 5.3. Дана таблица значений теплоемкости вещества в зависимости от температуры C p =f{T) (табл. 5.3).

Таблица 5.3

Воспользуемся формулой (5.16):

Рис. 5.3.

После выполнения преобразований получим интерполяционный многочлен вида:

Полином имеет третью степень и дает возможность вычисления при помощи найденной формулы значения у для неизвестного х.

Пример 5.4. В табл. 5.3.1 приведены значения теплоемкости в зависимости от температуры. Определить значение теплоемкости в точке Г=450 К.

Воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона. Конечные разности рассчитаны в предыдущем примере (табл. 5.3.2), запишем интерполяционный многочлен при х=450 К:

Таким образом, теплоемкость при температуре 450 К будет

Значение теплоемкости при Г=450 К получили такое же, что и рассчитанное по формуле Лагранжа.

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Для нахождения значений функций в точках, расположенных в конце интервала интерполирования, используют второй интерполяционный полином Ньютона. Запишем интерполяционный многочлен в виде

Коэффициенты а 0 , а ь ..., а„ определяем из условия:

Полагаем в (5.18) х=х„, тогда

Полагаем х =х„_|, тогда следовательно,

Если x = x n - 2 i то

Аналогично можно найти другие коэффициенты многочлена (5.18):

Подставляя эти выражения в формулу (5.18), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона, или многочлен Ньютона для интерполирования «назад»:

Введем обозначения:

Произведя замену в (5.19), получим:

Это вторая формула Ньютона для интерполирования «назад».

Пример 5.5. Вычислить теплоемкость (см. табл. 5.3) для температуры Г=550 К.

Воспользуемся второй формулой Ньютона (5.19) и соответствующими конечными разностями (см. табл. 5.4):

Следовательно, значение теплоемкости при температуре 550 К равно

Лекция 4

1. Конечные разности
2. Первая интерполяционная формула
Ньютона
3. Вторая интерполяционная формула
Ньютона
4. Погрешности интерполяции

Конечные разности 1–го порядка

Если интерполируемая функция y = f(x) задана в
равноотстоящих узлах, так что xi = x0 + i∙h, где h – шаг таблицы, а
i = 0, 1, … n, то для интерполяции могут применяться формулы
Ньютона, использующие конечные разности.
Конечной разностью первого порядка называется разность yi
= yi+1 - yi, где
yi+1= f(xi+h) и yi = f(xi). Для функции, заданной
таблично в (n+1) узлах, i = 0, 1, 2, …, n, конечные разности
первого порядка могут быть вычислены в точках 0, 1, 2,…, n - 1:
y 0 y1 y 0 ,
y1 y 2 y1,
.......................
yn 1 yn yn 1.

Конечные разности высших порядков

Используя конечные разности первого порядка, можно
получить конечные разности второго порядка 2yi = yi+1 - yi:
2 y 0 y1 y 0 ;
2 y1 y 2 y1;
..........................
2 y n 2 y n 1 y n 2 .
Конечные разности k-го порядка в узле с номером i могут
быть вычислены через разности (k-1)–го порядка:
k yi k 1yi 1 k 1yi
Любые конечные разности можно вычислить через значения
функции в узлах интерполяции, например:
2 y 0 y1 y 0 (y 2 y1) (y1 y 0) y 2 2y1 y 0 .

Таблица конечных разностей

x
y
Δy
Δ2y
Δ3y
x0
y0 Δy0 = y1 – y0 Δ2y0 = Δy1 – Δy0 Δ3y0 = Δ2y1 – Δ2y0
x1 = x0 + h
y1 Δy1 = y2 – y1 Δ2y1 = Δy2 – Δy1
x2 = x0 + 2h
y2 Δy2 = y3 – y2
x3 = x0 + 3h
y3

По величине конечных разностей можно
сделать
вывод
о
степени
интерполяционного
многочлена,
описывающего
таблично
заданную
функцию.
Если
для
таблицы
с
равноотстоящими
узлами
конечные
разности k-го порядка постоянны или
соизмеримы с заданной погрешностью, то
функцию можно представить многочленом
k-й степени.

Конечные разности и степень многочлена

Рассмотрим, например, таблицу конечных разностей для
многочлена y = x2 – 3x + 2.
0
y
-0.16
2y
0.08
3y
0
1.2
-0.16
-0.08
0.08
0
1.4
-0.24
0
0.08
1.6
-0.24
0.08
1.8
-0.16
x
y
1.0
Конечные разности третьего порядка равны нулю, а все
конечные разности второго порядка одинаковы и равны 0.08. Это
говорит о том, что функцию, заданную таблично, можно
представить многочленом 2–й степени (ожидаемый результат,
учитывая способ получения таблицы).

Пусть функция y = f(x) задана в n+1 равноотстоящих узлах xi , i = 0, 1,
2,…n с шагом h. Требуется найти интерполяционный многочлен Pn(x)
степени n, удовлетворяющий условию:
Pn(xi) = yi, i =0, 1, 2, …,n .
Будем искать интерполяционный многочлен в виде:
Pn(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + … + an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1),
где аi, i = 0, 1, 2,…n – неизвестные коэффициенты, не зависящие от узлов
интерполяции. Найдем эти коэффициенты из условий интерполяции.
Пусть х = x0, тогда Pn(x0) = y0 = a0. Следовательно, a0 = y0.
Пусть х = x1, тогда Pn(x1) = y1 = a0 + a1(x1 - x0) = y0 + a1(x1 - x0), откуда
a1
y1 y0 y0
.
x1 x0
h
Теперь пусть х = х2 , тогда:
Pn (x 2) y 2 a0 a1(x 2 -x 0) a2 (x 2 -x 0)(x 2 -x1) y 0
y 0
2h a2 2h2.
h
Выразив из этого выражения a2, получим:
y 2 2 y0 y0 y 2 2(y1 y0) y0 y 2 2y1 y 0 2 y 0
a2
.
2h2
2h2
2h2
2h2

Первая интерполяционная формула Ньютона

Продолжая подстановки, можно получить выражение для любого
коэффициента с номером i:
i y 0
ai
,
i! hi
i 0,1,...,n.
Подставив найденные значения коэффициентов в исходное выражение,
получим первую интерполяционную формулу Ньютона:
y0
2 y0
n y 0
Pn (x) y0
(x x0)
(x x 0)(x x1) ...
(x x 0)...(x x n 1).
1!h
2!h2
n!hn
Из формулы видно, что в ней используется верхняя строка таблицы
конечных разностей (слайд 4). Особенностью формулы является также
последовательное увеличение степени многочлена по мере добавления
очередных слагаемых. Это позволяет уточнять получаемый результат без
пересчета уже учтенных слагаемых.

Первая интерполяционная формула Ньютона

Первая интерполяционная формула Ньютона может быть записана в
более компактном и удобном для программной реализации виде.
Обозначив
q
x x0
,
h
x x 0 qh
и проведя несложные преобразования вида:
x x1 x x 0 h
q 1;
h
h
x xn
x x2
q n 1,
q 2;.....;
h
h
получим первую интерполяционную формулу Ньютона, выраженную
относительно неизвестной q:
n y 0
2 y0
q(q 1)...(q n 1).
q(q 1) ...
Pn (x) Pn (x0 hq) y0 y0q
n!
2!

10. Первая интерполяционная формула Ньютона

Конечные разности высших порядков, используемые в формуле
Ньютона, имеют обычно большую погрешность, связанную с ошибками
округления при вычитании близких значений. Поэтому соответствующие
слагаемые формулы имеют также большую погрешность. Чтобы уменьшить
их вклад в сумму, то есть в конечный результат, надо, чтобы выполнялось
условие |q| < 1. Это обеспечивается, если точка интерполяции x находится
между двумя первыми узлами таблицы: x0 < x < x1. По этой причине
интерполяцию с использованием первой формулы Ньютона называют
интерполяцией в начале таблицы или интерполяцией вперед.

интерполяции первая интерполяционная формула Ньютона принимает
следующий вид:
P1(x) y0 y0q.
P2 (x) y 0 y 0 q 2 y 0
q(q 1)
.
2

11. Пример использования первой интерполяционной формулы Ньютона

что и в примере на слайде 6. Требуется найти приближенное
значение функции в точке x = 1.1 путем квадратичной
интерполяции по первой формуле Ньютона.
x
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
y
0
-0.16
-0.24
-0.24
-0.16
y
-0.16
-0.08
0
0.08
2y 3y
0.08 0
0.08 0
0.08
Шаг таблицы h = 0.2
q = (x – x0)/h = 0.5
q(q 1)
2
0.5(0.5 1)
0 (0.16) 0.5 0.08
0.09
2
P2 (x) y 0 Δy 0 q Δ 2 y 0
Результат совпадает с
значением многочлена
y = x2 – 3x + 2, из которого
получена таблица

12. Схема алгоритма вычислений по первой интерполяционной формуле Ньютона

13. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Вторая формула Ньютона обладает аналогичными свойствами
относительно правой части таблицы. Для ее построения используют
многочлен вида:
Pn(x) = a0 + a1(x-xn) + a2(x-xn)(x-xn-1) + … + an(x-xn)(x-xn-1)…(x-x1),
где аi, i = 0, 1, 2, … n – коэффициенты, не зависящие от узлов интерполяции.
Для определения коэффициентов аi будем в это выражение поочередно
подставлять узлы интерполяции. При х = xn Pn(xn) = yn, следовательно,
a0 = yn.
При х = xn-1 имеем Pn(xn-1) = yn-1 = a0 + a1(xn-1-xn) = yn + a1(xn-1-xn),
откуда
a1
yn 1 yn yn yn 1 yn 1
.
xn 1 xn xn xn 1
h

14. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Продолжая подстановки, получим выражения для всех коэффициентов
многочлена и вторую интерполяционную формулу Ньютона:
n y 0
yn 1
2 yn 2
Pn (x) yn
(x xn)
(x xn)(x xn 1)
(x xn)...(x x1).
2
n
1!h
2!h
n!h
Из формулы видно, что в ней используется нижняя диагональ таблицы
конечных разностей (слайд 4). Как и в первой формуле Ньютона, добавление
очередных слагаемых ведет к последовательное увеличению степени
многочлена, что позволяет уточнять получаемый результат без пересчета уже
учтенных слагаемых.
Введя обозначение: q
x xn
,
h
x xn hq
и, проделав несложные преобразования, получим вторую интерполяционную
формулу Ньютона, выраженную относительно переменной подстановки q:
n y 0
2 yn 2
Pn (x) yn yn 1q
q(q 1) ...
q(q 1)...(q n 1).
2!
n!

15. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Из тех же соображений, что и в случае первой формулы Ньютона, для
уменьшения вычислительной погрешности надо, чтобы выполнялось условие
|q| < 1. Это обеспечивается, если точка интерполяции x находится между
двумя последними узлами таблицы: xn-1 < x < xn. По этой причине
интерполяцию с использованием второй формулы Ньютона называют
интерполяцией е конце таблицы или интерполяцией назад.
Для частных случаев линейной (n=1) и квадратичной (n=2)
интерполяции вторая интерполяционная формула Ньютона принимает
следующий вид:
P1 (x) y n y n 1q
2 y n 2
P2 (x) y n y n 1 q
q(q 1)
2!

16. Пример использования второй интерполяционной формулы Ньютона

Пусть интерполируемая функция f(x) задана той же таблицей,
что и в примере на слайде 11. Требуется найти приближенное
значение функции в точке x = 1.7 путем квадратичной
интерполяции по второй формуле Ньютона.
x
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
y
0
-0.16
-0.24
-0.24
-0.16
y
-0.16
-0.08
0
0.08
2y 3y
0.08 0
0.08 0
0.08
Шаг таблицы h = 0.2
q = (x – xn)/h = -0.5
Результат совпадает с
значением многочлена
y = x2 – 3x + 2, из
которого получена
таблица
q(q 1)
2
0.5(0.5 1)
0.16 0.08 (0.5) 0.08
0.21
2
P2 (x) y n Δy n 1 q Δ 2 y n 2

17. Схема алгоритма вычислений по второй интерполяционной формуле Ньютона

18. Погрешности интерполяции

Интерполирующая функция в точках между
узлами интерполяции заменяет интерполирующую
функцию приближенно:
f(x) = F(x) + R(x), где R(x) – погрешность
интерполяции.
Для оценки погрешности необходимо иметь
необходимо иметь определенную информацию об
интерполируемой функции f(x). Предположим, что
f(x) определена на отрезке , содержащем все
узлы xi, и при x, принадлежащем , имеет все
производные f"(x), f""(x), … f(n+1)(x) до (n+1)–го
порядка включительно.

19. Погрешности интерполяции

Тогда

20. Выбор узлов интерполяции по формуле Лагранжа

При фиксированной степени многочлена:
x*
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x
При последовательном увеличении степени
многочлена
x*
x4
x2
x0
x1
x3
x5
x

21. Практическая оценка погрешности интерполяции по формуле Лагранжа

На практике оценка максимального значения производной (n+1)–го
порядка Mn+1 при использовании формулы Лагранжа редко бывает возможна,
и поэтому используют приближенную оценку погрешности
R n (x) f(x) Ln (x) Ln 1 (x) Ln (x) ,
где n число используемых узлов.
Из приведенной формулы следует, что для оценки погрешности
интерполяции многочленом Лагранжа n–й степени необходимо
дополнительно вычислить значение многочлена (n+1)–й степени. Если
допустимая погрешность интерполяции задана, то необходимо, добавляя все
новые узлы, увеличивать степень многочлена до тех пор, пока модуль
разности между двумя последними значениями многочлена |Ln+1(x)-Ln(x)| не
станет меньше заданного значения.

22. Схема алгоритма интерполяции по формуле Лагранжа с заданной точностью

23. Оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона

Для интерполяционных
приобретают следующий вид.
1–я формула Ньютона:
R n (x) h
n 1
формул
Ньютона
оценки
q(q 1) (q n) (n 1)
f
(n 1)!
R n (x) h n 1
q(q 1) (q n)
M n 1
(n 1)!
2–я формула Ньютона:
R n (x) h
n 1
q(q 1) (q n) (n 1)
f
(n 1)!
R n (x) h n 1
q(q 1) (q n)
M n 1
(n 1)!
погрешности

24. Практическая оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона

При использовании интерполяционных формул Ньютона величину
f(n+1)(ξ) можно приближенно оценивать по величинам конечных разностей:
f
(n 1)
n 1
Δ y0
() n 1
h
и в этом случае формулы для оценки погрешности приобретают следующий
вид:
1–я формула Ньютона:
R n (x)
q(q 1) (q n) n 1
Δ y0
(n 1)!
2–я формула Ньютона:
R n (x)
q(q 1) (q n) n 1
Δ y0
(n 1)!

25. Интерполяция по формулам Ньютона с заданной точностью

Сравнивая эти формулы с формулами
Ньютона, можно увидеть, что для оценки
погрешности при интерполяции многочленом
n–й степени надо взять дополнительный узел
и вычислить слагаемое (n+1)–й степени.
Если задана допустимая погрешность
интерполяции ε, то надо последовательно
добавлять новые узлы и, соответственно,
новые слагаемые, увеличивая степень
интерполяционного многочлена до тех пор,
пока очередное слагаемое не станет меньше ε.