Простейшие логарифмические неравенства и методы их решения. Мановская работа" логарифмические неравенства в егэ". Преобразование логарифмических неравенств
Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3 . Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.
Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств , которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.
Логарифмическая функция
Определение
Функцию вида
0,\, a\ne 1 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">
называют логарифмической функцией .
Основные свойства
Основные свойства логарифмической функции y = log a x :
Графиком логарифмической функции является логарифмическая кривая :
Свойства логарифмов
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Если a и b a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство :
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Равенство log a t = log a s , где a > 0, a ≠ 1, t > 0, s > 0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s.
Если a , b , c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма ):
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Теорема 1. Если f (x ) > 0 и g (x ) > 0, то логарифмическое уравнение log a f (x ) = log a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ).
Решение логарифмических уравнений и неравенств
Пример 1. Решите уравнение:
Решение. В область допустимых значений входят только те x , при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
С учетом того, что
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:
На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:
В область допустимых значений входит только первый корень.
Ответ: x = 7.
Пример 2. Решите уравнение:
Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:
ql-right-eqno">
Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.
Используем подстановку:
Уравнение принимает вид:
Обратная подстановка:
Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.
Пример 4. Решите уравнение:
Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:
ql-right-eqno">
Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:
Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.
Ответ: x = -1.
Пример 5. Решите уравнение:
Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x ≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:
Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.
Пример 6. Решите уравнение:
Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:
Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:
В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.
Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам . Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:
Теорема 2.
Если f
(x
) > 0 и g
(x
) > 0, то:
при a
> 1 логарифмическое неравенство log a f
(x
) > log a g
(x
) равносильно неравенству того же смысла: f
(x
) > g
(x
);
при 0 < a
< 1 логарифмическое неравенство log a f
(x
) > log a g
(x
) равносильно неравенству противоположного смысла: f
(x
) < g
(x
).
Пример 7. Решите неравенство:
Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:
Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:
Пример 8. Решите неравенство:
Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:
После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:
С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:
Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:
Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:
С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:
Пример 10. Решите неравенство:
Решение.
Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству.
При изучении логарифмической функции мы рассматривали в основном неравенства вида
log а х < b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.
Решить неравенство lg (х + 1) ≤ 2 (1).
Решение .
1) Правая часть рассматриваемого неравенства смысл имеет при всех значенияхх, а левая часть – при х + 1 > 0, т.е. при х > -1.
2) Промежуток х > -1 называют областью определения неравенства (1). Логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, следовательно, при условии х + 1 > 0 неравенство (1) выполняется, если х + 1 ≤ 100 (так как 2 = lg 100). Таким образом, неравенство (1) и система неравенств
{х > -1, (2)
{х + 1 ≤ 100,
равносильны, иными словами, множество решений неравенства (1) и системы неравенств (2) одно и то же.
3) Решая систему (2), находим -1 < х ≤ 99.
Ответ. -1 < х ≤ 99.
Решить неравенство log 2 (х – 3) + log 2 (х – 2) ≤ 1 (3).
Решение.
1) Областью определения рассматриваемой логарифмической функции является множество положительных значений аргумента, поэтому левая часть неравенства смысл имеет при х – 3 > 0 и х – 2 > 0.
Следовательно, областью определения этого неравенства является промежуток х > 3.
2) По свойствам логарифма неравенство (3) при х > 3 равносильно неравенству log 2 (х – 3)(х – 2) ≤ log 2 (4).
3) Логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей. Поэтому при х > 3 неравенство (4) выполняется, если (х – 3)(х – 2) ≤ 2.
4) Таким образом, исходное неравенство (3) равносильно системе неравенств
{(х – 3)(х – 2) ≤ 2,
{х > 3.
Решая первое неравенство этой системы, получаем х 2 – 5х + 4 ≤ 0, откуда 1 ≤ х ≤ 4. Совмещая этот отрезок с промежутком х > 3, получаем 3 < х ≤ 4.
Ответ. 3 < х ≤ 4.
Решить неравенство log 1/2 (х 2 + 2х – 8) ≥ -4. (5)
Решение.
1) Область определения неравенства находим из условия х 2 + 2х – 8 > 0.
2) Неравенство (5) можно записать в виде:
log 1/2 (х 2 + 2х – 8) ≥ log 1/2 16.
3) Так как логарифмическая функция с основанием ½ убывающая, то для всех х из всей области определения неравенства получаем:
х 2 + 2х – 8 ≤ 16.
Таким образом, исходное равенство (5) равносильно системе неравенств
{х 2 + 2х – 8 > 0, или {х 2 + 2х – 8 > 0,
{х 2 + 2х – 8 ≤ 16, {х 2 + 2х – 24 ≤ 0.
Решая первое квадратное неравенство, получаем х < -4, х > 2. Решая второе квадратное неравенство, получаем -6 ≤ х ≤ 4. Следовательно, оба неравенства системы выполняются одновременно при -6 ≤ х < -4 и при 2 < х ≤ 4.
Ответ. -6 ≤ х < -4; 2 < х ≤ 4.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
С ними находятся внутри логарифмов.
Примеры:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 {(x^2-3)}< \log_3{(2x)}\)
\(\log_{x+1}{(x^2+3x-7)}>2\)
\(\lg^2{(x+1)}+10≤11 \lg{(x+1)}\)
Как решать логарифмические неравенства:
Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду \(\log_a{f(x)} ˅ \log_a{g(x)}\) (символ \(˅\) означает любой из ). Такой вид позволяет избавиться от логарифмов и их оснований, сделав переход к неравенству выражений под логарифмами, то есть к виду \(f(x) ˅ g(x)\).
Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость:
\(-\) если - число и оно больше 1 - знак неравенства при переходе остается прежним,
\(-\) если основание - число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.
\(\log_2{(8-x)}<1\) Решение: |
\(\log\)\(_{0,5}\)
\((2x-4)\)≥\(\log\)\(_{0,5}\)
\({(x+1)}\) Решение: |
Очень важно! В любом неравенстве переход от вида \(\log_a{f(x)} ˅ \log_a{g(x)}\) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:
Пример . Решить неравенство: \(\log\)\(≤-1\)
Решение:
\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}{\frac{3x-2}{2x-3}}\) \(≤-1\) |
Выпишем ОДЗ. |
ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\)
\(>0\) |
|
\(\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\) \(≥\) \(0\) |
Раскрываем скобки, приводим . |
\(\frac{-3x+7}{2x-3}\) \(≥\) \(0\) |
Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения. |
\(\frac{3x-7}{2x-3}\) \(≤\) \(0\) |
|
\(\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(≤\) \(0\) |
Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\)
и \(\frac{3}{2}\)
. Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль. |
|
Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ. |
|
Записываем окончательный ответ. |
Пример . Решить неравенство: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Решение:
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Выпишем ОДЗ. |
ОДЗ: \(x>0\) |
Приступим к решению. |
Решение: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем . |
\(t=\log_3x\) |
Раскладываем левую часть неравенства на . |
\(D=1+8=9\) |
|
Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену. |
|
\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Преобразовываем \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac{1}{3}\). |
\(\left[ \begin{gathered} \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется. |
\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке. |
|
Запишем ответ. |
Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе:
log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) · (k (x ) − 1) ∨ 0
Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми.
Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Если вы забыли ОДЗ логарифма, настоятельно рекомендую повторить - см. «Что такое логарифм ».
Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно:
f (x ) > 0; g (x ) > 0; k (x ) > 0; k (x ) ≠ 1.
Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства - и ответ готов.
Задача. Решите неравенство:
Для начала выпишем ОДЗ логарифма:
Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем:
x
2 + 1 ≠ 1;
x
2 ≠ 0;
x
≠ 0.
Получается, что ОДЗ логарифма - все числа, кроме нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Теперь решаем основное неравенство:
Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше». Имеем:
(10 − (x
2 + 1)) · (x
2 + 1 − 1) < 0;
(9 − x
2) · x
2 < 0;
(3 − x
) · (3 + x
) · x
2 < 0.
Нули этого выражения: x = 3; x = −3; x = 0. Причем x = 0 - корень второй кратности, значит при переходе через него знак функции не меняется. Имеем:
Получаем x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Данное множество полностью содержится в ОДЗ логарифма, значит это и есть ответ.
Преобразование логарифмических неравенств
Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами - см. «Основные свойства логарифмов ». А именно:
- Любое число представимо в виде логарифма с заданным основанием;
- Сумму и разность логарифмов с одинаковыми основаниями можно заменить одним логарифмом.
Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая:
- Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего в неравенство;
- Свести неравенство к стандартному по формулам сложения и вычитания логарифмов;
- Решить полученное неравенство по схеме, приведенной выше.
Задача. Решите неравенство:
Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма:
Решаем методом интервалов. Находим нули числителя:
3x
− 2 = 0;
x
= 2/3.
Затем - нули знаменателя:
x
− 1 = 0;
x
= 1.
Отмечаем нули и знаки на координатной стреле:
Получаем x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите - можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка:
Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их:
log 2 (x
− 1) 2 < 2;
log 2 (x
− 1) 2 < log 2 2 2 .
Получили стандартное логарифмическое неравенство. Избавляемся от логарифмов по формуле. Поскольку в исходном неравенстве стоит знак «меньше», полученное рациональное выражение тоже должно быть меньше нуля. Имеем:
(f
(x
) − g
(x
)) · (k
(x
) − 1) < 0;
((x
− 1) 2 − 2 2)(2 − 1) < 0;
x
2 − 2x
+ 1 − 4 < 0;
x
2 − 2x
− 3 < 0;
(x
− 3)(x
+ 1) < 0;
x
∈ (−1; 3).
Получили два множества:
- ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Кандидат на ответ: x ∈ (−1; 3).
Осталось пересечь эти множества - получим настоящий ответ:
Нас интересует пересечение множеств, поэтому выбираем интервалы, закрашенные на обоих стрелах. Получаем x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - все точки выколоты.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА В ЕГЭ
Сечин Михаил Александрович
Малая академия наук учащейся молодежи РК «Искатель»
МБОУ « Советская СШ №1», 11 класс, пгт. Советский Советского района
Гунько Людмила Дмитриевна, учитель МБОУ « Советская СШ №1»
Советского района
Цель работы: исследование механизма решения логарифмических неравенств С3 при помощи нестандартных методов, выявление интересных фактов логарифма.
Предмет исследования:
3)Научиться решать конкретные логарифмические неравенства С3 с помощью нестандартных методов.
Результаты:
Содержание
Введение………………………………………………………………………….4
Глава 1. История вопроса……………………………………………………...5
Глава 2. Сборник логарифмических неравенств ………………………… 7
2.1. Равносильные переходы и обобщенный метод интервалов…………… 7
2.2. Метод рационализации ………………………………………………… 15
2.3. Нестандартная подстановка………………............................................... 22
2.4. Задания с ловушками…………………………………………………… 27
Заключение…………………………………………………………………… 30
Литература……………………………………………………………………. 31
Введение
Я учусь в 11 классе и планирую поступить в ВУЗ, где профильным предметом является математика. А поэтому много работаю с задачами части С. В задании С3 нужно решить нестандартное неравенство или систему неравенств, как правило, связанное с логарифмами. При подготовке к экзамену я столкнулся с проблемой дефицита методов и приёмов решения экзаменационных логарифмических неравенств, предлагаемых в С3. Методы, которые изучаются в школьной программе по этой теме, не дают базу для решения заданий С3. Учитель по математике предложила мне поработать с заданиями С3 самостоятельно под её руководством. Кроме этого, меня заинтересовал вопрос: а в жизни нашей встречаются логарифмы?
С учетом этого и была выбрана тема:
«Логарифмические неравенства в ЕГЭ»
Цель работы: исследование механизма решения задач С3 при помощи нестандартных методов, выявление интересных фактов логарифма.
Предмет исследования:
1)Найти необходимые сведения о нестандартных методах решения логарифмических неравенств.
2)Найти дополнительные сведения о логарифмах.
3)Научиться решать конкретные задачи С3 с помощью нестандартных методов.
Результаты:
Практическая значимость заключается в расширении аппарата для решения задач С3. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике.
Проектным продуктом станет сборник «Логарифмические неравенства С3 с решениями».
Глава 1. История вопроса
На протяжении 16 века быстро возрастало количество приближённых вычислений, прежде всего, в астрономии. Совершенствование инструментов, исследование планетных движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда многолетних, расчетов. Астрономии грозила реальная опасность утонуть в невыполненных расчётах. Трудности возникали и в других областях, например, в страховом деле нужны были таблицы сложных процентов для различных значений процента. Главную трудность представляли умножение, деление многозначных чисел, особенно тригонометрических величин.
Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу 16 века свойства прогрессий. О связи между членами геометрической прогрессии q, q2, q3, ... и арифметической прогрессией их показателей 1, 2, 3,... говорил еще в "Псалмите" Архимед. Другой предпосылкой было распространение понятия степени на отрицательные и дробные показатели. Многие авторы указывали, что умножению, делению, возведению в степень и извлечению корня в геометрической прогрессии соответствуют в арифметической - в том же порядке - сложение, вычитание, умножение и деление.
Здесь скрывалась идея логарифма как показателя степени.
В истории развития учения о логарифмах прошло несколько этапов.
1 этап
Логарифмы были изобретены не позднее 1594 года независимо друг от друга шотландским бароном Непером (1550-1617) и через десять лет швейцарским механиком Бюрги (1552-1632). Оба хотели дать новое удобное средство арифметических вычислений, хотя подошли они к этой задаче по-разному. Непер кинематически выразил логарифмическую функцию и, тем самым, вступил в новую область теории функции. Бюрги остался на почве рассмотрения дискретных прогрессий. Впрочем, определение логарифма у обоих не похоже на современное. Термин "логарифм" (logarithmus) принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos - "отношение" и ariqmo - "число", которое означало "число отношений". Первоначально Непер пользовался другим термином: numeri artificiales- "искусственные числа", в противоположность numeri naturalts -"числам естественным".
В 1615 году в беседе с профессором математики Грешем Колледжа в Лондоне Генри Бригсом (1561-1631) Непер предложил принять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - 100, или, что сводится к тому же, просто 1. Так появились десятичные логарифмы и были напечатаны первые логарифмические таблицы. Позже таблицы Бригса дополнил голландский книготорговец и любитель математики Андриан Флакк (1600-1667). Непер и Бригс, хотя пришли к логарифмам раньше всех, опубликовали свои таблицы позже других - в 1620 году. Знаки log и Log были введены в 1624 году И. Кеплером. Термин "натуральный логарифм" ввели Менголи в 1659 г. и вслед за ним Н. Меркатор в 1668 г., а издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000 под названием "Новые логарифмы" лондонский учитель Джон Спейдел.
На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 году. Но во всех логарифмических таблицах были допущены ошибки при вычислении. Первые безошибочные таблицы вышли в 1857 году в Берлине в обработке немецкого математика К. Бремикера (1804-1877).
2 этап
Дальнейшее развитие теории логарифмов связано с более широким применением аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. К тому времени относится установление связи между квадратурой равносторонней гиперболы и натуральным логарифмом. Теория логарифмов этого периода связана с именами целого ряда математиков.
Немецкий математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в сочинении
"Логарифмотехника" (1668) приводит ряд, дающий разложение ln(x+1) по
степеням х:
Это выражение в точности соответствует ходу его мысли, хотя он, конечно, пользовался не знаками d, ... , а более громоздкой символикой. С открытием логарифмического ряда изменилась техника вычисления логарифмов: они стали определяться с помощью бесконечных рядов. В своих лекциях "Элементарная математика с высшей точки зрения", прочитанных в 1907-1908 годах, Ф. Клейн предложил использовать формулу в качестве исходного пункта построения теории логарифмов.
3 этап
Определение логарифмической функции как функции обратной
показательной, логарифма как показателя степени данного основания
было сформулировано не сразу. Сочинение Леонарда Эйлера (1707-1783)
"Введение в анализ бесконечно малых" (1748 г.) послужило дальнейшему
развитию теории логарифмической функции. Таким образом,
прошло 134 года с тех пор, как логарифмы впервые были введены
(считая с 1614 г.), прежде чем математики пришли к определению
понятия логарифма, которое положено теперь в основу школьного курса.
Глава 2. Сборник логарифмических неравенств
2.1. Равносильные переходы и обобщенный метод интервалов.
Равносильные переходы
, если а > 1
, если 0 < а < 1
Обобщённый метод интервалов
Данный способ наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Схема решения выглядит следующим образом:
1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция
, а в правой 0.
2. Найти область определения функции
.
3. Найти нули функции
, то есть – решить уравнение
(а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство).
4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.
5. Определить знаки функции
на полученных интервалах.
6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения, и записать ответ.
Пример 1.
Решение:
Применим метод интервалов
откуда
При этих значениях все выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны.
Ответ:
Пример 2.
Решение:
1-й способ . ОДЗ определяется неравенством x > 3. Логарифмируя при таких x по основанию 10, получаем
Последнее неравенство можно было бы решать, применяя правила разложения, т.е. сравнивая с нулём сомножители. Однако в данном случае легко определить интервалы знакопостоянства функции
поэтому можно применить метод интервалов.
Функция f (x ) = 2x (x - 3,5)lgǀ x - 3ǀ непрерывна при x > 3 и обращается в ноль в точках x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Таким образом, определяем интервалы знакопостоянства функции f (x ):
Ответ:
2-й способ . Применим непосредственно к исходному неравенству идеи метода интервалов.
Для этого напомним, что выражения a b - a c и (a - 1)(b - 1) имеют один знак. Тогда наше неравенство при x > 3 равносильно неравенству
или
Поcледнее неравенство решается методом интервалов
Ответ:
Пример 3.
Решение:
Применим метод интервалов
Ответ:
Пример 4.
Решение:
Так как 2x 2 - 3x + 3 > 0 при всех действительных x , то
Для решения второго неравенства воспользуемся методом интервалов
В первом неравенстве сделаем замену
тогда приходим к неравенству 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y , которые удовлетворяют неравенству -0,5 < y < 1.
Откуда, так как
получаем неравенство
которое выполняется при тех x , для которых 2x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Теперь с учетом решения второго неравенства системы окончательно получаем
Ответ:
Пример 5.
Решение:
Неравенство равносильно совокупности систем
или
Применим метод интервалов или
Ответ :
Пример 6.
Решение:
Неравенство равносильно системе
Пусть
тогда y > 0,
и первое неравенство
системы принимает вид
или, раскладывая
квадратный трехчлен на множители,
Применяя к последнему неравенству метод интервалов,
видим, что его решениями, удовлетворяющими условию y > 0 будут все y > 4.
Таким образом исходное неравенство эквивалентно системе:
Итак, решениями неравенства являются все
2.2. Метод рационализации.
Раньше методом рационализации неравенства не решали, его не знали. Это "новый современный эффективный метод решения показательных и логарифмических неравенств" (цитата из книжки Колесниковой С.И.)
И даже, если педагог его знал, была опаска - а знает ли его эксперт ЕГЭ, а почему в школе его не дают? Были ситуации, когда учитель говорил ученику: "Где взял? Садись - 2."
Сейчас метод повсеместно продвигается. И для экспертов есть методические указания, связанные с этим методом, и в "Самых полных изданиях типовых вариантов..." в решении С3 используется этот метод.
МЕТОД ЧУДЕСНЫЙ!
«Волшебная таблица»
В других источниках
если a >1 и b >1, то log a b >0 и (a -1)(b -1)>0;
если a
>1 и 0 если 0<a
<1 и b
>1, то log
a
b
<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
если 0<a
<1 и 00 и (a
-1)(b
-1)>0.
Проведенные рассуждения несложные, но заметно упрощающие решение логарифмических неравенств.
Пример 4.
log
x
(x
2 -3)<0
Решение:
Пример 5.
log
2 x
(2x
2 -4x
+6)≤log
2 x
(x
2 +x
)
Решение:
Ответ
. (0; 0,5)U
.
Пример 6.
Для решения этого неравенства вместо знаменателя запишем (х-1-1)(х-1), а вместо числителя - произведение (х-1)(х-3-9+х).
Ответ:
(3;6)
Пример 7.
Пример 8.
2.3. Нестандартная подстановка.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
Пример 7.
log
4 (3 x
-1)log
0,25 Сделаем замену у=3 х -1; тогда данное неравенство примет вид
Log
4 log
0,25 Так как log
0,25 = -log
4 = -(log
4 y
-log
4 16)=2-log
4 y
, то перепишем последнее неравенство в виде 2log
4 y
-log
4 2 y
≤.
Сделаем замену t
=log
4 y
и получим неравенство t
2 -2t
+≥0, решением которого являются промежутки - Таким образом, для нахождения значений у имеем совокупность двух простейших неравенств Следовательно, исходное неравенство равносильно совокупности двух показательных неравенств, Решением первого неравенства этой совокупности является промежуток 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех значений х из промежутков 0<х≤1 и 2≤х<+.
Пример 8.
Решение:
Неравенство равносильно системе
Решением второго неравенства, определяющего ОДЗ, будет множество тех x
,
для которых x
> 0.
Для решения первого неравенства сделаем замену
Тогда получаем неравенство
или
Множество решений последнего неравенства находится методом
интервалов: -1 < t
< 2. Откуда, возвращаясь к переменной x
, получаем
или
Множество тех x
, которые удовлетворяют последнему неравенству
принадлежит ОДЗ (x
> 0), следовательно, является решением системы,
а значит, и исходного неравенства.
Ответ:
2.4. Задания с ловушками.
Пример 1.
.
Решение.
ОДЗ неравенства есть все х, удовлетворяющие условию 0 Пример 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.
.
Решение этой совокупности есть промежутки 0<у≤2 и 8≤у<+.
то есть совокупности
Заключение
Было не просто найти из большого обилия разных учебных источников особые методы решения задач С3. В ходе проделанной работы мне удалось изучить нестандартные методы решения сложных логарифмических неравенств. Это: равносильные переходы и обобщённый метод интервалов, метод рационализации, нестандартная подстановка, задания с ловушками на ОДЗ. В школьной программе эти методы отсутствуют.
Разными методами я решил 27 неравенств, предлагаемых на ЕГЭ в части С, а именно С3. Эти неравенства с решениями по методам легли в основу сборника «Логарифмические неравенства С3 с решениями», который стал проектным продуктом моей деятельности. Гипотеза, поставленная мною вначале проекта, подтвердилась: задачи С3 можно эффективно решать, зная эти методы.
Кроме этого, я выявил интересные факты логарифмов. Мне это было интересно делать. Мои проектные продукты будут полезны как для учащихся, так и для учителей.
Выводы:
Таким образом, поставленная цель проекта достигнута, проблема решена. А я получил наиболее полный и разносторонний опыт проектной деятельности на всех этапах работы. В ходе работы над проектом у меня основное развивающее воздействие было оказано на мыслительную компетентность, деятельность, связанную с логическими мыслительными операциями, развитие творческой компетентности, личной инициативы, ответственности, настойчивости, активности.
Гарантией успеха при создании исследовательского проекта для меня стали: значительный школьный опыт, умение добывать информацию из различных источников, проверять ее достоверность, ранжировать ее по значимости.
Кроме непосредственно предметных знаний по математике, расширил свои практические навыки в области информатики, получил новые знания и опыт в области психологии, наладил контакты с одноклассниками, научился сотрудничать с взрослыми людьми. В ходе проектной деятельности развивались организационные, интеллектуальные и коммуникативные общеучебные умения и навыки.
Литература
1. Корянов А. Г. ,Прокофьев А. А. Системы неравенств с одной переменной (типовые задания С3).
2. Малкова А. Г. Подготовка к ЕГЭ по математике.
3. Самарова С. С. Решение логарифмических неравенств.
4. Математика. Сборник тренировочных работ под редакцией А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. -М.: МЦНМО, 2009. - 72 с.-