Конспект урока "Физический и геометрический смысл производной. Касательная к графику функции". Тема урока: Уравнение касательной к графику функции Презентация касательная к графику функции уравнение касательной
План-конспект урока в 10 классе
«Уравнение касательной к графику функции»
Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний и формирования первоначальных предметных навыков, овладения предметными умениями.
Дидактическая задача урока: Обеспечение осознания и усвоения понятий, правил, алгоритмов; формирование умений применения теоретических положений в условиях решения учебных задач.
Цели урока: вывести уравнение касательной к графику функции, научить составлять уравнение касательной для заданной функции в заданной точке.
Планируемые результаты:
ЗУНы. Учащиеся должны
знать: уравнение касательной к графику функции в точке х 0 ;
уметь: составлять уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке.
формирование навыка составления уравнения касательной к графику заданной функции в заданной точке.
Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, учебники, тетради учащихся, письменные принадлежности.
Учитель: Нестерова Светлана Юрьевна
Здравствуйте, ребята! Все готовы к уроку? Можете садиться.1 слайд. «Касательная к графику функции»
Устная работа, направленная на подготовку учащихся к восприятию новой темы (повторение ранее изученного материала)
10.01 – 10.03
Фронтальная
Устная работа
Для того чтобы качественно разобраться с темой сегодняшнего урока, нам необходимо вспомнить то, что мы с вами ранее изучали.
Ответьте на следующие вопросы.
2 слайд.
Графиком какой функции является прямая? (линейной)
Каким уравнением задается линейная функция? (у = k х + b )
Как называется число, стоящее перед « х »? (угловой коэффициент прямой)
По-другому уравнение у = k х + b называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.
3 слайд.
Чему равен угловой коэффициент прямой? (тангенсу угла наклона прямой, который эта прямая образует с положительным направлением оси Ох).
Сформулируйте определение касательной: (прямая, проходящая через точку (х о ; f (х о )), с отрезком которой практически сливается график дифференцируемой в точке х о функции f при значениях х близких к х о ).
4 слайд.
Если в точке x o существует производная , то существует касательная (невертикальная) к графику функции в точке x o .
5 слайд.
Если же f ’ ( x 0 ) не существует, то касательная либо
не существует (как у функции у = |х|),
либо вертикальная (как у графика у = 3 √х).
6 слайд.
Вспоминаем, каким может быть взаимное расположение касательной с осью абсцисс?
Прямая возрастающая => угловой коэффициент k >0, tg > 0 => угол острый.
Прямая // оси ОХ => угловой коэффициент k =0, tg = 0 => угол = 0 0
Прямая убывающая => угловой коэффициент k <0, tg < 0 => угол тупой.
7 слайд.
Геометрический смысл производной:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке проведения касательной k = f `( x o ).
Хорошо, молодцы, повторение окончено.
Тема урока. Постановка цели урока
10.03-10.05
Обсуждение, беседа
Выполните следующее задание:
Дана функция у = х 3 . Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке х 0 = 1.
ПРОБЛЕМА ? Да. Каким образом её решать? Ваши варианты? Где вы сможете найти помощь в решении этой проблемы? В каких источниках? Но проблема решаема? Так как вы думаете, какова будет тема нашего урока?
Тема сегодняшнего урока «Уравнение касательной» .
Ну а теперь сформулируйте цели нашего урока (ДЕТИ ):
1. Вывести уравнения касательной к графику функции в точке х о .
2. Научиться составлять уравнение касательной для заданной функции.
Открываем тетради, записываем на полях число, «классная работа», тема урока.
Первичное восприятие и усвоение нового теоретического учебного материала
10.06- 10.12
Фронтальная
Поисково - исследовательская
8 слайд.
Решим эту практическую задачу. Я пишу на доске – вы смотрите, рассуждаете вместе со мной.
Дана функция у = х 3 . Необходимо написать уравнение касательной к графику этой функции в точке х 0 = 1.
Рассуждаем: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: у = k х + b .
Для того чтобы его написать, нам необходимо знать значение k и b .
Найдем k (из геометрического смысла производной):
k = f `( x o ) = f `(1) = 3 * 1 2 = 3, т.е. k = 3 .
Наше уравнение приобретает вид: у = 3х + b .
Вспомните: если прямая проходит через заданную точку, то при подстановке координат этой точки в уравнение прямой должно получиться верное равенство. Значит, нам необходимо найти ординату точки – значение функции в точке х 0 = 1: f (1) =1 3 =1. Точка касания имеет координаты (1; 1).
Подставляем найденные значения в уравнение прямой, получаем:
1 = 3 . 1+ b ; значит b = - 2 .
Подставим найденные значения k = 3 и b = - 2 в уравнение прямой: у = 3х - 2.
Задача решена.
9 слайд.
А теперь решим эту же задачу в общем виде.
Дана функция у = f ( x ), необходимо написать уравнение касательной к графику этой функции в точке х 0 .
Рассуждаем по той же схеме: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: у = k х + b .
Из геометрического смысла производной: k = f `( x o )=> у = f `( x o ) * х + b .
Значение функции в точке х 0 есть f ( x o ), значит касательная проходит через точку с координатами ( х 0 ; f ( x o ))=> f ( x o )= f `( x o ) * x o + b .
Выразим из данной записи b : b = f ( x o ) - f `( x o ) * x o .
Подставим все выражения в уравнение прямой:
у = f `( x o ) * х + b = f `( x o ) * х + f ( x o ) - f `( x o ) * x o = f `( x o ) * ( х - x o )+ f ( x o ).
СРАВНИТЬ С УЧЕБНИКОМ (стр. 131)
Найдите, пожалуйста, в тексте учебника запись уравнения касательной и сравните с тем, что у нас получилось.
Запись немного отличается (чем?), но она верна.
Принято записывать уравнение касательной в следующем виде:
у = f ( x o ) + f `( x o )( х - x o )
Запишите эту формулу себе в тетрадь и выделите – вы должны её знать!
9 слайд.
А теперь давайте составим алгоритм нахождения уравнения касательной. Все «подсказки» у нас в формуле.
Найти значение функции в точке х о
Вычислить производную функции
Найти значение производной функции в точке х о
Подставить полученные числа в формулу
y = f ( x o ) + f `( x o )( x – x o )
Привести уравнение к стандартному виду
Отработка первичных навыков
10.12-10.14
Фронтальная
Письменная + совместное обсуждение
Каким образом эта формула работает? Рассмотрим на примере. Записываем пример в тетрадь.
Напишите уравнение касательной к графику функции f (x ) = х 3 – 2х 2 + 1 в точке с абсциссой 2.
Выполняем вывод уравнения с записью на доске и в тетрадях.
Ответ: у = 4х – 7.
Работа с источником информации
10.14-10.15
Индивидуальная
Чтение текста, обсуждение
Посмотрите в учебник на с. 131, пример 2. Прочитайте до п.3. О чем идет речь в данном примере? (можно составить уравнение для заданной функции в общем виде и потом найти уравнение касательной при любом значении х 0 , а ещё можно найти точку пересечения касательной к стандартной параболе с осью Ох
Динамическая пауза
10.15-10.16
Отдых
Минутка отдыха.
Слайд – зарядка для тела, зарядка для глаз.
Применение теоретических положений в условиях выполнения упражнений и решения задач
10.16- 10.30
Фронтальная, индивидуальная
Письменная (доска + тетрадь)
Ну а теперь приступим к практической работе, цель которой – сформировать навык составления уравнения касательной.
На доске записать №№ 255(а, б), 256(а, б), резерв 257 (а, б), * .
* – задание следующего уровня сложности для наиболее подготовленных учеников: На параболе у = 3х 2 - 4х + 6 найти точку, в которой касательная к ней // прямой у =2х+4 и написать уравнение касательной к параболе в этой точке.
Для работы к доске приглашаются учащиеся (поочерёдно).
Ответы:
№255
а) у = - 3х – 6, у = - 3х + 6 б) у = 2х, у = - 2х +4
№256
а) у = 3, у = - 3х + 3π б) у = 2х + 1 – π/ 2 , у = 4х + √3 - 4 π/ 3
№257 (резерв)
а) х = 1, у = 1, в т. (1; 1) касательная // Ох
б) х = - 2, у = - 24, в т. (-2; -24) касательная // Ох
Задание *ответы:
А (1; 5), уравнение касательной у = 2х + 3.
Самостоятельное использование навыков
10.30-10.35
Групповая, индивидуальная, самостоятельная
Письменная (тетрадь), обсуждение работы в парах
Итак, чем мы занимались? Кому был понятен материал? У кого остались вопросы? Проведем самоконтроль понимания темы урока.
Работать вы будете в парах - на столах у вас лежат карточки с заданиями. Внимательно прочитайте задание, на выполнение работы даётся 4-5 минут.
Задание: Написать уравнение касательной к заданной функции f (x ) в точке с заданной абсциссой.
I : f ( x ) = х 2 – 2х – 8, в точке с абсциссой -1 . Ответ: у = -4х – 9.
II : f ( x ) = 2х 2 – 4х + 12, в точке с абсциссой 2 . Ответ: у = 4х + 4.
III : f ( x ) = 3х 2 – х – 9, в точке с абсциссой 1 . Ответ: у = 5х –12.
IV : f ( x ) = 4х 2 + 2х + 3, в точке с абсциссой -0,5 . Ответ: у = -2х + 2.
Проверка выполнения самостоятельной работы
10.35-10.37
Фронтальная, групповая
Осуществление самоконтроля по образцу, обсуждение
На доске (поворотной) ответы. Учащиеся проводят самоконтроль.
У кого получились такие же ответы?
У кого ответы не сошлись?
Где вы допустили ошибку?
Вопросы учащимся на закрепление геометрического смысла производной:
Назовите прямые, которые пересекают ось Ох под острым углом.
Назовите прямые, которые // оси Ох.
Назовите прямые, которые образуют с осью Ох угол, тангенс которого является отрицательным числом.
Рефлексия деятельности
10.37-10.39
Фронтальная
Беседа
Подведение итогов урока.
Какая ПРОБЛЕМА возникла перед нами в ходе урока? (нужно было написать уравнение касательной, а мы не знали, как это сделать)
Какие цели мы с вами ставили на этот урок? (вывести уравнение касательной, научиться составлять уравнение касательной для заданной функции в заданной точке)
Достигли ли вы цели урока?
Кто из вас может сказать с уверенностью, что научился составлять уравнение касательной?
У кого ещё остались вопросы? Мы обязательно ещё будем работать над этой темой и, я надеюсь, проблемы Ваши будут решены на 100%!
10.39-10.40
Запишите домашнее задание - №№ 255(вг), 256(вг), 257(вг), * , формула!!!
Посмотрите в учебник на задания вашей домашней работы.
№№ 255(вг), 256(вг) – продолжение классной работы по отработке навыка написания уравнения касательной.
* – задание следующего уровня сложности для тех, кто хочет себя проверить:
На параболе у = х 2 + 5х – 16 найти точку, в которой касательная к ней // прямой 5х+у+4 =0.
Спасибо за работу. Урок окончен.
Учитель: Горбунова С. В.
Тема урока: Уравнение касательной к графику функции.
Цели урока
Уточнить понятие «касательной».
Вывести уравнение касательной.
Составить алгоритм «составления уравнения касательной к графику функции
Начать отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.
Формировать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования, развивать математическую речь.
Оборудование: компьютер, презентация, проектор, интерактивная доска, карточки с памяткой, карточки для рефлексии.
Структура урока:
О.Н. У.
Сообщение темы урока
Повторение изученного материала
Постановка проблемы.
Объяснение нового материала.
Создание алгоритма «составления уравнения касательной».
Историческая справка.
Закрепление. Отработка умений и навыков в составлении уравнения касательной.
Домашнее задание.
Самостоятельная работа с самопроверкой
Подведение итогов урока.
Рефлексия
1. О.Н.У.
2. Сообщение темы урока
Тема сегодняшнего урока: «Уравнение касательной к графику функции». Откройте тетради, запишите число и тему урока. (слайд 1)
Пусть слова, которые вы видите на экране, станут девизом сегодняшнего урока.(слайд 2)
Плохих идей не бывает
Мыслите творчески
Рискуйте
Не критикуйте
2. Повторение изученного материала (слайд 3).
Цель: проверить знание основных правил дифференцирования.
Найти производную функции:
У кого не одной ошибки? У кого одна?
3. Актуализация
Цель: Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели и задачи урока. (Слайд 4)
Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции?
Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Идёт обсуждение. Высказывания детей (да и почему, нет и почему). В процессе обсуждения приходим к выводу, что данное утверждение не верно.
Давайте рассмотрим конкретные примеры:
Примеры.
(слайд 5)
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x 2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе.
Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.
Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x , хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.
^ 4. Постановка цели и задачи перед детьми на уроке: (слайд 6)
Попробуйте сами сформулировать цель урока.
Выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, вывести уравнение касательной. Применять формулу при решении задач
^
5. Изучение нового материала
Посмотрите, чем отличается положение прямой х=1 от положения у=2х-1? (слайд 7)
Сделайте вывод, что же такое касательная?
Касательная это предельное положение секущей.
Раз касательная это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?
Вспомнить общий вид уравнения прямой.(у= кх+b)
Как еще называют число к? (угловой коэффициент или тангенс угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох) к = tg α
В чем заключается геометрический смысл производной?
Тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси оХ
Т. Е. я могу записать tg α = yˈ(x). (слайд 8)
Давайте проиллюстрируем это на чертеже. (слайд 9)
Пусть дана функция y = f (x) и точка М принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х=а, у= f (а), т.е. М (а, f (а)) и пусть существует производная f "(а), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную. Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того что там записано, можно ли найти к? (да, k = f "(а).)
Как теперь найти b? Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka +b , отсюда b = f(a) – ka, т. к. к = tg α= yˈ(x), то b = f(a) – f "(а)а
Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.
y = f "(а)x + f(a) – f "(а)a, вынося за скобку общий множитель, получаем:
y = f(a) + f "(а) · (x-a).
Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.
Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого элемента в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом: (слайд 10)
(а, f (а)) – точка касания
f "(а) = tg α = к тангенс угла наклона или угловой коэффициент
(х,у) – любая точка касательной
6. Составление алгоритма (слайд 11).
Предлагаю составить алгоритм самим учащимся:
Обозначим абсциссу точки касания буквой а.
Вычислим f(a).
Найдем f "(х) и вычислим f "(а).
Подставим найденные значения числа а, f(а), f "(а) в уравнение касательной.
y = f(a) + f "(а) · (x-a).
Историческая справка (слайд 12).
| 1 | 4/3 | 9 | -4 | -1 | -3 | 5 |
Ответ: ФЛЮКСИЯ (слайд 13).
Какова история происхождения этого названия? (слайд 14,15)
Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.
Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой .
Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница. 
Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Д.Грегори, в работах И. Барроу.
8. Закрепление (слайд 16-18).
1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой
Решение:
Составим уравнение касательной (по алгоритму). Вызвать сильного ученика.
а = -1;
f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
f "(x) = 2х – 3,
f "(a) = f "(-1) = -2 – 3 = -5;
y = 9 – 5 · (x + 1),
Ответ: y = 4 – 5x.
Задания ЕГЭ 2011 года В-8
1.Функция у = f(x) определена на промежутке (-3; 4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = 1. Вычислите значение производной f"(x) в точке а= 1.
Решение: для решения необходимо вспомнить, что если известны координаты каких-либо двух точек А и В, лежащих на данной прямой, то её угловой коэффициент можно вычислить по формуле: к = , где (x 1 ;у 1), (х 2 ; у 2)- координаты точек А, В соответственно. По графику видно, что эта касательная проходит через точки с координатами (1; -2) и (3; -1), значит к=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5. 
2. Функция у = f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображён её график и касательная к этому графику в точке с абсциссой а = -2. Вычислите значение производной f"(x) в точке а = -2.
Решение: график проходит через точки (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2
8.Домашнее задание (слайд 19).
Подготовка к ЕГЭ В-8 № 3 - 10
^ 9.Самостоятельная работа
Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.
вариант 1 вариант 2
f(x) = х²+ х+1, а=1 f(x)= х-3х², а=2
ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12
10. Подведение итогов.
Что называется касательной к графику функции в точке?
В чём заключается геометрический смысл производной?
Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?
Выберете смайлик, соответствующий вашему настроению и состоянию после проведенного урока. Спасибо за урок.
Дата: _____________________
Тема урока: Физический и геометрический смысл производной. Касательная к графику функции.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
Учащиеся должны знать :
что называется угловым коэффициентом прямой;
углом между прямой и осью Ох;
в чем состоит геометрический смысл производной;
уравнение касательной к графику функции;
способ построения касательной к параболе;
уметь применять теоретические знания на практике.
Задачи урока :
Образовательные: создать условия для овладения учащимися системы знаний, умений и навыков с понятиями механический и геометрический смысл производной.
Воспитательные: формировать у учащихся научное мировоззрение.
Развивающие: развивать у учащихся познавательный интерес, творческие способности, волю, память, речь, внимание, воображение, восприятие.
Методы организации учебно-познавательной деятельности:
наглядные;
практические;
по мыслительной деятельности: индуктивный;
по усвоению материала: частично-поисковый, репродуктивный;
стимулирующие: поощрения;
контроля: устный фронтальный опрос.
План урока
Устные упражнения (найти производную)
Изучение нового материала
Решение заданий.
Подведение итогов урока.
Оборудование : карточки
Ход урока
“Человек лишь там чего – то добивается, где он верит в свои силы”
Л. Фейербах
I. Организационный момент.
Организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.
Постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.
Устный счет
1. Найдите производные:
", ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "
2. Логический тест.
а) Вставить пропущенное выражение.
| 5х 3 -6х | 15х 2 -6 | |
| 2cosx … | ||
II. Изучение нового материала.
Пойдем по пути Ньютона и Лейбница и посмотрим, каким способом можно анализировать процесс, рассматривая его как функцию времени.
Введем несколько понятий, которые помогут нам в дальнейшем.
Графиком линей ной функции y=kx+ b является прямая, число k называют угловым коэффициентом прямой k=tg, где – угол прямой, то есть угол между этой прямой и положительным направлением оси Ох.
Рисунок 1
Рассмотрим график функции у=f(х). Проведем секущую через любые две точки, например, секущую АМ. (Рис.2)
Угловой коэффициент секущей k=tg. В прямоугольном треугольнике АМС (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.
Рисунок 2
Рисунок 3
Сам термин “скорость” характеризует зависимость изменения одной величины от изменения другой, и последняя необязательно должна быть временем.
Итак, тангенс угла наклона секущей tg = .
Нас интересует зависимость изменения величин в более короткий промежуток времени. Устремим приращение аргумента к нулю. Тогда правая часть формулы – производная функции в точке А (объясните почему). Если х – 0, то точка М движется по графику к точке А, значит прямая АМ приближается к некоторой прямой АВ, которая является касательной к графику функции у = f(х) в точке А . (Рис.3)
Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной.
Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке.
Механический смысл производной.
Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то есть новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной , а Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость .
III. Решение заданий.
Показать на доске.
Угловой коэффициент касательной к кривой f(х) = х 3 в точке х 0 – 1 есть значение производной этой функции при х = 1. f’(1) = 3х 2 ; f’(1) = 3.
№ 159, № 161 – у доски.
Вопросы к классу:
Каков физический смысл производной перемещения? (Скорость).
Можно ли найти производную скорости? Используется ли эта величина в физике? Как она называется? (Ускорение).
Мгновенная скорость равна нулю. Что можно сказать о движении тела в это момент? (Это момент остановки).
Каков физический смысл следующих высказываний: производная движения равна нулю в точке t 0; при переходе через точку t 0 производная меняет знак? (Тело останавливается; меняется направление движения на противоположное).
IV. Подведение итогов урока
1) В чем состоит геометрический смысл производной?
2) В чем состоит механический смысл производной?
Дата:__________________
Тема: Уравнение касательной к графику функции.
Тип урока: изучение нового материала.
Методы обучения: наглядный, частично поисковый.
Цель урока.
Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
Развивать логическое мышление, математическую речь.
Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.
“Человек лишь там чего–то добивается, где он верит в свои силы”
Л. Фейербах
Ход урока.
I. Организационный момент
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.
II. Актуализация знаний.
(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)
Вспомним, что же такое касательная?
“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”.
Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.
Рассмотрим пример.
Пусть дана парабола и две прямые 
, имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной, а вторая является.
На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?
Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.
Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования.
III. Подготовительная работа к изучению нового материала.
Сформулировать определение производной.
Заполнить таблицу произвольных элементарных функций.
Вспомнить правила дифференцирования.
Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно)
IV Изучение нового материала.
Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.
Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.
Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абсциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .
Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .
Следовательно, .
Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у , то выражает угловой коэффициент касательной.
Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .
Это и есть геометрический смысл производной.
Причем, если:
Выясним общий вид уравнения касательной.
Пусть прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:
– уравнение касательной к графику функции.
Рассмотрим примеры:
Составим уравнение касательной:
Решая эти примеры, мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем:
Рассмотрим типичные задания и их решение.
№1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке .
Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .
2) 
3) ; 
4) Подставим найденные числа ,, в формулу.
Ответ:
№2. К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой .
Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .
Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; .
Из уравнения ,т.е. , находим, что и . Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.
Действуем по алгоритму.
4) Подставив значения ,, , получим , т.е. .
Подставив значения ,, , получим , т.е.
Ответ: , .
V. Решение задач.
1. Решение задач на готовых чертежах
VI. Подведение итогов.
1. Ответьте на вопросы:
Что называется касательной к графику функции в точке?
В чем заключается геометрический смысл производной?
Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?
2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?
3. Выставление оценок.
Разделы: Математика
Цели.
- Обобщить и систематизировать правила дифференциирования;
- Повторить алгоритм построение касательной к графику функции, схему исследования функции;
- Решение задач на применение наибольшего и наименьшего значения функции.
Оборудование. Плакат “Производная. Правила вычисления производных. Применения производной”.
Ход урока
По картам у учащихся повторение теоретического материала.
1. Дайте определение производной функции в точке. Что называется дифференциированием? Какую функцию называют дифференциируемой в точке?
(Производной функции f в точке х называется число, к которому стремится отношение
Функцию, имеющую производную в точке х 0 , называют дифференциируемой в этой точке. Нахождение производной f называется дифференциированием.)
2. Сформулируйте правила нахождения производной.
(1. Производная суммы (u + v)"=u"+v";
2. О постоянном множителе (Cu)"=Cu";
3. Производная произведения (uv)"=u"v+uv";
4. Производная дроби (u/v)"=(u"v-uv")/v 2 ;
5. Производная степенной функции (x n)"=nx n+1 .)
3. Чему равны производные следующих функций:
4. Как найти производную сложной функции?
(Надо последовательно представить ее в виде элементарных функций и взять производную по известным правилам).
5. Чему равны производные следующих функций:
6. В чем заключается геометрический смысл производной?
(Существование производной в точке эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (х 0 ,f(x 0)) графика функции, причем угловой коэффициент этой касательной равен f "(x 0)).
7. Какой вид имеет уравнение касательной к графику функции в точке (x 0 ,f(x 0))?
(Уравнение касательной имеет вид у=f(x 0)+f"(x 0)(x-х 0))
8. Сформулируете алгоритм построения графика функции с помощью производной.
(1. Найти ООФ.
2. Исследовать на четность.
3. Исследовать на периодичность.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат.
5. Найти производную функции и ее критические точки.
6. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
7. Построить таблицу по результатам исследования.
8. Построить график функции.)
9. Сформулировать теоремы, с помощью которых модно построить график функции.
(1. Признак возрастания (убывания).
2. Необходимый признак экстремума.
3. Признак максимума (минимума).)
10. Какие формулы существуют для приближенных вычислений функций?
Индивидуальная работа.
Уровень А (три варианта), уровень Б (один вариант).
Уровень А.
Вариант 1.
1. Запишите уравнение касательной к графику функции
f(x)=(x -1) 2 (x -3) 3 параллельной прямой у=5-24х.
2. Число 18 педставьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в два раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим.
4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=(x-1) e х+1 .
Вариант 2.
1. Под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная к графику функции f(x)=0,x 2 +x-1,5 в точке с абсциссой х 0 = - 2? Напишите уравнение этой касательной и выполните рисунок к этой задаче.
2. Как в В. 1.
3. Найдите производную функции:
Уровень Б.
1. Найдите производную функции:
а) f(x) = e -5х;
б) f(x) = log 3 (2x 2 -3x+1).
2. Напишите уравение касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 , если f(x)=e -х, х 0 = 1.
3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=x·e 2х.
Итог урока.
Проверяется работа, выставляется отметка за теорию и практику.
Домашнее задание дается индивидуально:
а)повторить производные тригонометрических функций;
б)метод интервалов;
в)механический смысл производной.
2. А: №138, №142, Б: №137(а,б), №140(а).
3. Возмите производную функций:
а) f(x)=x 4 -3x 2 -7;
б) f(x)=4x 3 -6x;
в) f(x)=-2sin(2x-4);
г) f(x)=cos(2x-4).
4. Назовите схему исследования функции.
